G = K^—HL^MN = O

alors, comme on sait, les deux systèmes d’équations (A) et (B) cessent d’être distincts l’un de l’autre, et les arguments a et ^ deviennent égaux. Ayant, dans ce cas, une combinaison intégrable des équations (A), dont l’intégrale soit

et intégrant cette équation aux dérivées partielles du premier ordre, on en obtient l’intégrale complète

laquelle, par rapport à l’équation (1), sera une intégrale primitive particulière. En considérant t/ comme une fonction de a et de y, et

Ch. IV. § 20.

appliquant à cette intégrale la méthode de la variation des constantes arbitraires, on obtiendra, pour la détermination de i/, une équation selon la formule générale (4). L’intégrale générale représentant la valeur de ^ doit s’exprimer au moyen de l’intégrale générale représentant la valeur de »/, et des fonctions arbitraires que cette intégrale renferme. Mais les arguments des fonctions arbitraires de l’intégrale en z doivent être égaux à a; par suite, a doit être l’argument commun des fonctions arbitraires de l’intégrale en t]. Donc (Chap. I, §. 6) l’équation (4), dans le cas actuel, ne peut contenir les dérivées du second ordre

da^ ’ dady*

et de là il s’ensuit nécessairement que l’on a iü = O et >S = 0.

137. Ainsi l’avantage de l’application de la méthode de la variation des constantes arbitraires aux intégrales particulières de l’équation (1), obtenues à l’aide des équations (A) et (B), consiste en ce que l’équation générale

d^.co

d^.co , d^.co .

à laquelle se ramène finalement le problème de l’intégration de l’équation (1), admet, dans les quatre cas que nous venons de considérer, respectivement les formes simplifieés suivantes.

Si, dans l’équation (1), N =0, cas auquel Ampère s’est borné dans la théorie (*) , alors , en vertu de la dernière des formules (5) du §. précédent, on a 17=0, et les équations définitives prennent les formes encore plus simples

qa

ii’f

qii’

doi

de

taa

kii

équ

des

(*) Citons le passage du Mémoire d’Ampère où il est question de cette restriction :

„Je vais appliquer la méthode que j’emploie à l’équation Hr^2Ks-{-Lt~^M=:0.

Cette méthode peut aussi être appliquée, avec quelques modifications, à l’équation Hr-{-2Ks-\-Lt-\-M-\-N(rt^s'^)= 0, et servir à la ramener à l’une des deux formes

suivant que la quantité BL MN est nulle ou ne l’est pas. Mais, pour

se I sép, lew

rend

sont

où !

Ch. IV. S 20.

oc^ I — 0

^0«0iî“^’

d^.co

Les deux dernières équations présentent les formes les plus simples parmi toutes celles que peut prendre Téquation (4). Ampère, à l’aide de sa méthode, obtient facilement la forme représentée par la dernière équation , dans le cas où a lieu l’égalité 6^ = 0. Mais il est beaucoup plus difficile d’obtenir par cette méthode la forme que présente l’avant-dernière équation, dans le cas général où G n’est pas égal à zéro, et où les systèmes (A) et (B) fournissent chacun des combinaisons intégrables, dont nous avons représenté (art. 135) les intégrales sous la forme

La difficulté provient de ce qu’Ampère, n’appliquant sa méthode qu’à la première des deux intégrales précédentes, ramène de cette manière le problème à l’intégration d’une équation de la forme 0^.0) B^.Cû

il faut ensuite procéder avec cette équation comme avec l’équation donnée (1), et démontrer que la nouvelle équation transformée sera de la forme

dad^ ’

tandis que, en employant le procédé que nous avons proposé plus haut, on ramène tout d’une fois le problème à l’intégration d’une équation de cette dernière forme.

138. Kemarquons encore que le premier membre de chacune des équations

d^.CO ^ 02.G)

dccd(3

se compose de deux facteurs, dont chacun peut, en général, être égalé séparément à zéro. Mais l’intégrale générale qui représente la valeur de rj ne peut fournir que les seconds facteurs, parce qu’il n’y a

rendre plus simple l’exposition de cette méthode et les démonstrations qui y sont relatives, j’ai cru devoir me borner à la formule nr-{-2Ks-{-Lt-{-AI=zO,

où les dérivées du second ordre ne se trouvent qu’à la première puissance.‘' (Journal de l’Ecole Polytechnique, XVIIIe Cahier, p. 106).

Ch. IV, § 20.

que ceux-ci qui contiennent les dérivées du second ordre de cette fonction. Les premiers facteurs S et T, séparément, peuvent donner seulement, dans certains cas, des intégrales particulières avec une seule fonction arbitraire, parce qu’ils ne renferment que des dérivées du premier ordre de rj. En général, ces facteurs peuvent être négligés.

Ainsi, si = O, et que des équations (A) et (B) on tire une intégrale particulière de l’équation (1), de la forme

Z = CO (x, y, a, y, ^),

on aura son intégrale générale, en joignant à l’équation précédente les trois équations