G = K^ — L + MN
donc les deux systèmes d’équations (A) et (B) se confondent en un seul, savoir,
2zyK-T--j-2z'x = 0,
Ox(a ' ox{a '
dx(c£ dx(ci
La seconde de ces équations, satisfaisant à la condition d’intégrabilité, donne l’intégrale
icV — z,^ =^2ci.
Pour intégrer cette équation aux dérivées partielles du premier ordre par la méthode de Lagrange et de Charpit, formons le système d’équations simultanées
dx d,y — dz^ — dz' ^
ixz
Ch. IV. § 21.
dont une des intégrales est évidemment z, == const. On a, par conséquent
et
dz = — dx-\-ydy.
En intégrant cette dernière équation, on a l’intégrale particulière de l’équation proposée,
\-ri
dont il est facile de vérifier l’exactitude. En considérant t) comme une fonction de a et de y, et joignant à l’équation précédente les trois suivantes.
da x~^ dcc
dy^
x^By^
nons aurons l’intégrale générale, si nous déterminons la fonction rj au moyen de la dernière équation. Or, si l’on en soustrait la seconde équation de l’intégrale générale, on obtient l’équation
B^t] Brj
By^ Bd ’
dont l’intégrale a été donnée par L api a ce, sous la forme
e ^^(p(y-j-2uY(x)du,
ç) désignant une fonction arbitraire. Les dérivées partielles de cette valeur de y, par rapport à « et à y, sont
JL f
fia Y dxJ
Br}
y-J e-'‘^<p'(y-\-2uVa)iIu,
CD
' (y~\-^'^Y cc)du‘j
La valeur de la première, 'au moyen de l’intégration par parties, peut encore se ramener à la forme Brj P+ “
+ CO
En substituant ces valeurs, on obtient l’intégrale du problème, donnée par Ampère, sous la forme des trois équations
Z = y y ^ - ~~T~J e -'“'ç)(y4-2wy
+ 2ni a)du = O,
~ J c~’**q[)"(y-(-2îtl/ûr)«?z^ = 0.
Ch. IV. § 21.
Pour vérifier les conclusions de la théorie relativement aux valeurs de T, différentions la fonction a par rapport à æ et à
ÿj en considérant a et y comme des constantes-, il viendra
De plus, en différentiant les fonctions œ' et co, par rapport à w et à y, dans la supposition de a; et â' constantes, on trouve
d.co'
Substituant ces valeurs dans les formules générales (§), où Ton fera N —O, on trouvera, conformément à la théorie,
On intégrera absolument de la même manière les deux autres exemples — + — — == O,
et
(^+^y)^^'' + 2{x+z,)(y+zy,+(y+z'^^^^^ ^ O,
qui sont tous les deux de même nature que le précédent, la condition (t = 0 ayant lieu aussi dans ces deux exemples.
141. Considérons maintenant des exemples dans lesquels cette condition n’est plus vérifiée.
