IL
On a ici
2s, Jv = o, ye = -;
donc les équations (A) et (B) prendont les formes respectives
dx(a Z
-sA'.. I L24.L
Aucune de ces équations, prise séparément, ne satisfait à la condition d’intégrabilité ; mais Ampère a indiqué une combinaison intégrable de ces équations, qui s’obtient en multipliant, dans les deux systèmes,
la première équation par » la seconde par — 1, la troisième
par — 2x, et ajoutant ensuite séparément les équations de chaque système. Les deux sommes peuvent être représentées comme il suit,
x^8z' 2xz8x-^x^8zf -|- 2xzj8x \
hdzj i 1=0,
en se rappelant que l’équation avec les signes supérieurs se déduit du système (A), et celle avec les signes inférieurs du système (B).
Ch. IV. § 21.
Ces deux équations contiennent des différentielles partielles par rapport à æ; mais pour 'seconde variable indépendante on sous-entend dans Tune a, dans Tautre On a donc pour intégrales les deux équations xh' — 2zx — Z>log2!^-j-2èlogic = or,
£cV-j-ic%, — 2zx-\-h\ogz, ~ 2b\ogx — d’où l’on tire, par addition et soustraction,
2x\z' -|- z^) — 4:zx =r a 13,
2Slog^2 =
Jb
La seconde de ces équations donne
et, en substituant cette valeur de z, dans la première, on aura
Par conséquent,
tzl
e 2& x^dy.
En intégrant cette dernière équation, après l’avoir multipliée par -g» on obtient l’intégrale particulière a-f/5
-f-e 26 {jj — x)x^ — x^r] = O)
de l’équation donnée, comme il est facile de le vérifier aposteriori.
En considérant maintenant ri comme une fonction de a et de et joignant à l’équation précédente les deux suivantes,
0or
da
,drj
on obtiendra l’intégrale générale de l’équation proposée en déterminant la fonction rj au moyen de l’équation
d^rj
= ~ ÎP ^ — *-'**“*' 8adp
Or, en retranchant la seconde équation de l’intégrale générale, de la troisième, on trouve
Ajoutant cette dernière équation, multipliée par à l’avant-dernière
et divisant la somme par on obtient l’équation
d^rj 1 /drj dr)\
07;0^~4i\0ûr~ W
Ch. IV. § 21.
pour la détermination de la fonction rj. Il est aisé de remarquer qu’elle ne s’intégre pas sous forme finie-, mais son intégrale générale, d’après la méthode deLaplace, s’exprime au moyen d’intégrales définies.
Pour vérifier les valeurs de E, S, T, on trouve, en différentiant la fonction co par rapport k x et k y , et considérant « et ^ comme constantes,
a4-8 fcï
' 1 {2xy — Sx^) — 2x1]^ CO, ^ e
En différentiant co’ et cOj par rapport à a et à et considérant X et y comme constantes, il vient
drj
drj
dco^
dci
dco,
6^ “ (ÎJæÿ— 3æ"; — 2æg^.
De la première et de la troisième de ces équations on peut éliminer
8^ dji
grale générale, multipliées par — ■
dco’
?r et ôi’ en leur ajoutant la seconde et la troisième équation de l’inté-
On trouve ainsi 0/3 2x^ 2b^ '* •
Mais, en ayant égard à l’équation
cOj = e ^2,
on peut encore écrire les équations précédentes de cette manière,
00)' 1 co,
00)' co^
du ~~ 2x^' 2b'
co,
du ~
Ces valeurs doivent être portées dans les formules générales (6), où l’on fera y — p et N = 0. Pour cela, en divisant les deux pre-’ mières équations précédentes respectivement par les deux dernières, il vient
On a d’autre part
K+-VG
