Équations a deux branches

I. Equations de degré quatre. — L'intégrale générale des équations différentielles de cette espèce se met sous la forme

et intègre l'équation de degré y = 4,

-^ ' (Xi— PiX,)j*-+-2(Xo— fXoX,)/-f-fx,Xo— XjfXo

où les coefficients des diverses puissances dey s'expriment rationnellement kV aide des cinq fonctions arbitraires X2, )^i, X©, {x,, {Xo et de leurs dérivées premières.

2. Equations de degré trois. — Pour former les équations de degré trois dont l'intégrale générale acquiert deux valeurs autour des points critiques mobiles,

(*) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, loc. cit.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. I9

on pourrait exprimer, par exemple, que le numérateur et le dénominateur de y' dans la relation (2) ont un facteur commun y — K, d'où une relation algébrique

(3) H(Xj, X„ Xo, Pi Po, Vj, Vj, )/o, fx'j, f/'o)=^ o,

qu'il est facile de former, où H est un polynôme entier par rapport aux fonctions )s, [JL et leurs dérivées premières; en sorte qu'en supprimant le facteur commun j^ — K [R est une fonction rationnelle des X, {x, X', [jl' liés par la relation (3)], on obtiendrait une équation diflFérentielle, de degré trois en y, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des X, [x, X', jx' liés par la relation différentielle (3).

L'équation

ainsi obtenue dépend bien de quatre fonctions indépendantes, puisque les coefficients des diverses puissances dey sont exprimés de la façon indiquée plus haut; mais comme la relation H = o contient les dérivées premières X', [jl', . . . , on ne peut dire que l'on a euprimé explicitement les coefficients à l'aide de quatre fonctions indépendantes, puisque, pour exprimer une des cinq fonctions X, (x en fonction des quatre autres, il faudrait savoir intégrer la relation H = o.

A.insi donc, pour que la question que nous nous sommes posée fût résolue, il faudrait pouvoir déduire, de la relation H = o, une relation algébrique Ht = o ne contenant plus les dérivées des fonctions X, [x.

Or, la méthode employée dans ce travail, ayant précisément pour objet de substituer à la relation H = o, qui contient les dérivées premières des X, [x, une relation

Hi (Xo, X|, X„ fXo, fx„ C) == o,

contenant algébriquement les fonctions X, {x et une constante arbitraire C|, cette relation Hj = o doit être considérée comme intégrant la relation H = o. Il suffit d'écrire que les deux équations

Lil — — 5 y

(X, — fXjX,)7«4-a(Xo— X,fXo)j'H-fXiXo— X,fXo=o ont une racine commune eny^ d'où la relation

[(Ci-X,)(fXjXo-fXoXj)-(C,fXo-Xo)(X|-fXl^«)?

---[2(C,— XO(Xo — (XoXO— (Xi~fX,XO(fJtiC,— Xi)][(fX,Ci--XO(fAlXo-X,[Xo) — 2(fXoC-Xo)(Xo-fXoXo)]=0.

Quand cette relation est satisfaite, on peut supprimer au numérateur et au

dénominateur de (2) le facteur commun

/[(Xj— C,)(fX,Xo— X,fXo)— (poC— Xo)(X,— fXiXo)]-f(fX,C,— >.,)(fX,Xo — X,fXo)-t-f^0^1— >'0|^l,

et l'on obtient Téquation difTérenlielle demandée.

Du reste, on peut supposer t^ = o; cela revient à remplacer

Aq, A|, a,, fi-o, fX| respectivement par

Aq ^if-o» Al — CiP-i, Aj—Li, [ÀQy fx,, et la relation H| = o se réduit alors à

relation qu'on aurait pu d'ailleurs écrire immédiatement; le facteur commun se réduit alors à 2 j' -h {Xi, et après l'avoir supprimé il reste

•^ ' 2(X,— fXiX,)>'-+-4Xo— f^I^l

3. En écrivant que l'équation différentielle s'abaisse au degré deux (auquel cas c'est une équation de Biccati), c'est-à-dire que

est une solution remarquable, on obtient une relation entre Xj, Xj, Xo, {x© soit sous forme différentielle, en écrivant que le numérateur de (3) s'annule pour^ = ^|, soit sous forme algébrique en écrivant que, pour G = G2, on a

(27,-hfX,)»

et, par suite, l'intégrale générale se met sous la forme où l'on a posé

c/=v^c"=ic;,

et sur cette forme on vérifie bien que l'équation différentielle est à points critiques fixes. C'est le cas exceptionnel ^r = 2.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 21

II. — Emploi de la transformation hoxographique suivie du changement