IV. — Nombre de branches de l'intégralb

6. U resterait à démontrer que, si Ton adopte la solution la plus générale des équations (S), le degré q ne s'abaisse pas nécessairement, c'est-à-dire que les équations (S) n'entraînent pas comme conséquence que d'autres racines^ == g{x) de D= o soient des solutions remarquables; car, s'il en était ainsi, une des équations (S') serait conséquence des équations (S), ce qui est impossible, comme nous l'avons vu plus haut.

7. Enfin, montrons que la fonction j^(j:) ainsi définie a bien n branches et non pas un nombre moindre, du moment que q est plus grand que deux.

En eflet, supposons que l'intégrale générale ne prenne qu'un nombre v de valeurs (v <; n). Elle est alors réductible à la forme

où Pi et aj sont des polynômes en y de degré v.

C =: ^Y^ — T est alors une fonction rationnelle de G

Si C'j, est une racine multiple de l'égalité (7), et il y en aura toujours au moins une, du moment que v>- 1, et G© la valeur correspondante de G, l'égalité

admet des solutions y = g{x) multiples, et pour qu'elles soient seulement doubles, il faut que G'„ soit racine double de l'égalité

et que, de plus, l'équation

Co=R(G'),

ait ses racines en^ simples.

Or, du moment que v>>i, cette dernière équation à plusieurs solutions

l8 A. CAIIEN.

y =z g(^x), y=h(x), ... correspondant à la même valeur Co de C ; et, comme ce sont des solutions remarquables, les valeurs de la constante qui leur correspondent n'auraient pas été prises arbitrairement, puisqu'elles sont toutes égales à Cq. Il est donc impossible que, pour la solution (2) la plus générale, le nombre des branches soit inférieur à n.

Le raisonnement n'est en défaut que si v est égal à un, maison sait que l'équation (1) correspondante est une équation de Biccati, par suite gr = 2.

Donc, si l'on suppose q> i^n est bien le nombre de branches permutables Acy{x).

Je n'examinerai pas davantage la discussion ni les applications aux équations à coefficients algébriques, pas plus que d'autres questions intéressantes, me bornant à renvoyer au Mémoire de M. Painlevé ('), où tous ces problèmes sont traités avec les développements qu'ils comportent.