Nous avons vu que la Iransformalion

a(\)Y-hh(X)

Y-hc(X)

conservait le degré de l'équation différenlielle et le nombre de branches de Tinlégrale.

Si l'on suppose que ^ = 0,^ = 1,^ = 00 sont des intégrales des équations différentielles, moyennant la transformation (4), on voit que, dans le cas de q = /\, l'intégrale générale (i), étant de la forme

donne lieu à l'équation difTérentielle

yt^2y-h(x(œ) Pour le cas de ^r = 3, la quantité a étant nulle, l'intégrale est de la forme

l'équation difTérentielle correspondante se réduit alors à

Si l'on part des formes (5) et (6) des équations diiïérentielles, on obtiendra toutes les équations différenlielles dont l'intégrale générale a deux branches^ en effectuant dans (5) et (6) sur x et y, la transformation (4), où 'f(X), a(X), è(X), c(X) sont des fonctions arbitraires de X.

5. Remarque. — On pourra se reporter au Mémoire (*) déjà cité de M. Painlevé, qui contient des types d'équations un peu différents de ceux que nous avons introduits. Mais la méthode que nous avons employée permet d'obtenir des types identiques, comme nous allons le montrer rapidement.

(^) Annales de V École Normale; 189a.

22 A. CAUEN.

6. Équations de degré quatre. — Pour que Féquation diflercnliellc, donl

représcDle Tinlégralc, soit de la forme

il faut et il suffit que Ton ait

fx, Xo — X,fx„ — o, X,— |jii).,z=o, avec Xq — XjfXo^o,

d'où

^1 = ft; = o,

/ __ Ky' + (^> Fo -^ ^0 — ^» Fo )y^ -^ K Fo — ^oFo

2(Xo— X,fXo)7

7. Équations de degré trois. — Pour que q soit égal à trois, il faut et il suffit que pour C = C| , j^ = o soit solution remarquable, d'où

t.1 — — > ou bien encore que pour C = Ca, y=:oo soit solution remarquable, d'où

On obtiendra alors les deux formes

, ( >> -- Cl f^o )y* -t- ^0 Fo — ^0 jJ-'o ^ a(Xo-"C,fXo)7

qui se déduisent, d'ailleurs, l'une de l'autre parle changement de^ en — •

Dans chacune de ces deux formes, la constante arbitraire introduite figure d'une façon artificielle, la première de ces deux formes pouvant s'rcrire

^'~ -aix,a,-C,) '

si Ton pose

ij — Ci^ A,

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 23

il vient

^.^ A>»-+-fXoA^-fx;A

et l'on retombe bien ainsi sur un tvpe très simple obtenu par M. Painlevé.