XoX,(X', Ho — XoHe)y -I- ^î (Ho^-'o — H
As3)..>.Jy(/-')(y-f^)
Ao) Îh, [^5-2 el Uo étant liés par la relation
aXj -h 3X0 4-X,/Jt2 -h 2X0^.1 = 0.
10. Equations de degré quatre. — Deux cas peuvent se présenter, car rabaissement du degré de l'équation (8) provient de la présence de deux solutions remarquables doubles, ou d'une solution remarquable triple.
Premier cas : Jl existe deux solutions remarquables doubles. — Soient y r= o, y = 00, d'où
on peut supposer
C3 = o, Cp = 00, d'où jULo =: o, /JLi = o,
et, par suite,
/ .r[x;.vM-(x; -4-/xtX; — Xi [x; )y + / x,x; — Xo ^i; ]
avec
iX, •+- 3>.p -H XjjJLj-t- 2X0/X, :=r o.
Deuxième cas : // )' a une solution remarquable triple. — Soit y = 00, d'où
Xj^Xj^Xj^io, fJt, = 0, 2fjt,-t- 3 =10,
I — >4.>'' -i- f Ky^ -^ f^o ^0 — Fo >o
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 2D
H. Équations de degré trois. — Nous devons distinguer deux cas, suivant qu'il y a trois solutions remarquables doubles, ou une solution triple et une solution double.
Premier cas : Il y a trois solutions doubles. — Soient o, i, oo. Nous n'avons qu'à écrire que, pour Téquation (9),^=! est en outre une solution remarquable correspondant à la valeur C = i de la constante, d'où les conditions
>.,= >,= |jLj = ^o=0, I -H^, mXi -hXo, X, -t- 2X44-1 =0,
et l'équation différentielle prend la forme
(îO) / =
(.Xo4-i)[ <^--^^y;^--^'> -r]^
dont l'intégrale générale est
Deuxième cas : Il y a une solution triple et une solution double. — Soient^ =:oo solution triple et j^ = o solution double, d'où
X, = X,=:X, =:f^, =0, 2^,4-3 = 0, fto = 0,
12. Remarque /. — Si l'on exprimait qu'il y a un abaissement plus considérable, on obtiendrait une équation de Riccati.
On peut vérifier sur les formes correspondantes de l'intégrale générale que l'on se trouve bien en présence d'une équation à points critiques fixes.
Pour l'équation (10), par exemple, si l'on exprimait qu'il y a abaissement d'une unité dans le degré, c'est-à-dire que
(Xoj+jO(2Vt^ Ao*
est une solution remarquable double, correspondant à une valeur G =: C| de la constante, on obtiendrait une équation de Riccati, et, d'autre part, l'intégrale générale se réduisant à la forme
«!/' -*- Piy* -+- yi/ -H d, = o,
où ai, pi, y,, 8| sont des constantes numériques, l'équation différentielle correspondante aurait bien ses points critiques fixes.
26 A. CAIIEN.
De même, si l'on exprime que y = i est solution double pour Téquallon (12),
il vient
X; = o, d*où y = o,
et l'intégrale générale, se réduisant à
où a, est une constante numérique, a bien encore ses points critiques fixes.
ncniaïque II. — Si Ton avait exprimé tout d'abord que^ = ~— ^ est solution
remarquable, on aurait rencontré des farines d'équations différentielles, identiques à celles trouvées par M. Painlevé (*) à l'aide de sa première méthode.
13. Signalons enfin les types intéressants d'équations différentielles, obtenus eu écrivant que l'équation différentielle admet j^= 0,^=1, y = ao comme solutions or<im«//*e5 pour les valeurs C = o, C= 1, = 00 de la constante. Ceci est toujours possible puisque l'équation différentielle dépend au moins des quatre fonctions arbitraires f (^), «(^), l^i^)? c(^) ^^ la transformation
et que toutes les formes de l'intégrale générale (7) se déduisent de l'une d'entre elles par le changement de C en -p — j-»
L'équation de degré six s'obtient en parlant de
avec d*où
où A et B sont deux polynômes de degrés trois et quatre.
Ecrivons que y = ao est solution remarquable, d'où l'équation de degré cinq
^- FiJ + Fo ' ^~ B '
A et B étant du troisième degré; et l'on formera de même les équations de degrés
( *) Annales de l* École Normale, 189a, lac. cit.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 27
quatre et trois
avec
>, -h I = fx, -h fXo»
et
