IV. — Équations a quatre branches

14. Dans tout ce qui suit, nous supposerons qu^on a disposé des coefficients de la transformation homographiquc, de façon que yz=o^ yz=z\^ y z=.co soient des solutions ordinaires de l'équation difTérentielle. Il suffira alors, dans tous les

types que nous obtiendrons^ de remplacer y par -^- — j- pour former toutes les

équations différentielles de l'espèce indiquée. Elles contiendront, par conséquent, rationnellement les fonctions arbitraires a, p, 8 et leurs dérivées premières.

Le degré de ces équations varie entre huit et trois. Je vais passer très rapidement sur les équations de degrés huit, sept, six et cinq dont la formation est analogue à celles des équations du paragraphe précédent, et j'insisterai plus longuement sur les équations du quatrième et du troisième degrés.

I. Ë^uATiONS DE DEGRÉ HUIT. — L'intégrale générale est de la forme

d'où

4 /^î^' -^ 2/ji,y» -+- . . . -h l^o^o

IL Equations de degré sept» — Écrivons que j^ = oo est solution remarquable double pour C = oo, d'où

(2) Cz:z'Ll:L ^ i^ tL (i -f- X, -h X, -H Xg = a, -+- fi, -h fig )»

(2)' y' — ^^ ^^ " ^"^^^'^y' '^ (f^î -^f^i -+- ^îf^i— ^>ff»)7' +»■.+ f^,x; — Xpf^;]

2/i,y« 4- ( 3fJi, 4- X,/Ji,)y* H- • • • -H XofXo

III .Équations de degré six. — Deux cas peuvent se présenter :

Premcer cas : Il y a deux solutions remarquables doubles, — Soienly =^ oc, y -= o pour C = 00, C = o,

Deuxième cas \ Il y a une solution remarquable triple. — Soil j- = oc pour C = 00,

(4) C — 'i-^ -^ ^ -^ ^ (fz, -f-^o = H-^i + X, -4-Xo),

IV. Équations de degré ciîîq. — Trois cas peuvent se présenter :

Premier cas : Il y a trois solutions remarquables doubles. — Soient y = o, y=ii^yz=cc pour C = o, C = i, C = oo,

,.v r y»(y'-HA7-^B)

L'équation différentielle correspondante est

M-N/=:o, 011 Ton a

N = D>* -+- ( AD'~ DA -h 2B' -F 3 A' - aD'.)y*

[BD' — DB' -4- 2(AB' — BA) — a(AD' - DA) — 6A^ — B -h D] j» [AD' - DA' - 2(BD' - DB) - 4(AB'~ BA')]y^ [2(AB' - BA') -h BD'- DB' -h 3B']/

= y(7 — 0'[D'y*H-(3A'H-2B'-+-AD' — DA')y