II. — Examen d'un cas singl'lier

i. Donnons-nous niainlenant une équalion

olK\'— 0. J3 C 4- •/ --- o.

Si Ton a posé

C est une fonction rationnelle dey, 1^^ c'csi-à-dire une fonction à deux \aleurs

de >', renfermant le radical y/QR.

Tout ce cjue nous avons dit précédemment subsiste.

Il y a toutefois un cas exceptionnel, que Ton peut rencontrer, mente en supposant la relation (•>,) irréductible. C'est celui où le premier memhrr de l'équation en >-', déduite de (2), est carré parfait.

Quand il en est ainsi, soient C| = yi (>', j?), Co = • '/2(.>*> •'*) Ic^ Ai^vw racines de (a) correspondant à une même valeur Aey. y x est. une fonction dcya, cl, pai-

suite,

/.i + y.2~const., '/,/,= consl.

sont deux formes de l'intégrale de Téquation (i); autrement dit

'- m consl., - — const.

définissent toutes deux Tintégrale générale de (1). On voit alors immédiatement qu'il existe entre a, j3, v une relation de la forme

fjra -h ^|3 -H ey =z o,

a^ b^ C étant des constantes numériques.

Dans ce dernier cas, les racines y = g{x) du discriminant

sont des solutions ordinaires de (1), c'est-à-dire qu'elles donnent à la fonction Va{j\x)^ définie par (2), des valeurs constantes.

4o A. CAIIEN.

En effet, s'il en élail autrement, la courbey = g{^) serait soit une enveloppe, soit un lieu de points de rebroussement, soit un lieu de points doubles des intégrales particulières. Or pour une équation différentielle du premier degré en y\ il ne peut exister de tels lieux.