I. — Il Y A SIX INTÉGRALES SIN^rLlfeRKS
2. Dans ces conditions, nous supposerons qu'on a disposé des coefficients de la transformation homograpbiquc de façon que j' = o, r = i, j'=r30 soient des intégrales ordinaires correspondant aux valeurs C = o, (^=i, C = oc de la constante d'intégration; en sorte que l'équation différentielle (') correspondante sera toujours de la forme
(I) \^yt-:,^\y-^y(y-,)^^o,
où L, M, N sont des polynômes de degrés respectivement égaux à 8, lo et 9.
Equatïojxs de degré douze. — L'équation la plus générale dont l'intégrale possède trois branches est de degré douze; L, RI, N seront alors de degrés 8, m et ()*, et si a, P, y désignent trois polynômes en y de la forme
a = «îj' -H a,7 -H I , (3 1= (Sj y' -+- '^^y^ 4- Ç»,y -+- Po, y = ys..)'' -f- y*/' -^ y ij, avec la condition suivante, qui exprime quey = i est intégrale pour C =r 1 ,
«1 -H «i -M -+- ys -+- y2 -H y i = 2 ( ^3 -H ;3, -+- ;3i -h (3o ),
l'équation différentielle (1) s'écrit de la façon suivante :
et les coefficients de L, M, N sont, par suite, des fonctions rationnelles des a/, P/, Yi et de leurs dérivées.
(M Pour obtenir toutes les équations répondant ù la question, il suffira de remplacer dans cliacun des types obtenus y par — Y~Â^ l( ^^ ^ '*^'' *^ dérivée de celte expres-
sion; la nouvelle équation renfermera alors rationnellement les trois fonctions arbitraires a(x), b{x)y l{x) et leurs dérivées premières.
58 A. CAIIEN.
Remarque, — L'intégrale et le terme indépendant de y pouvant s'écrire
également
a(C — i)*— 2(P — a)(C — i)-ha — 2;3-hy = o,
le facteur j^ — i se met aussitôt en évidence dans ce dernier, en vertu de rijentitc
a — 2? -t- y E- (7 — i)[(yj— a.S,)^--!- (y,— 23,-1- y,— 23,4- a,)/ -+- 2^0— i].
3. Kqlatio>'S de degré o^zK. — En écrivant que j' = ao, par exemple, est une intégrale remarquable double, d'où a^^o, on obtient une é(|uation (1) où L, M, N sont de degrés 7, 9 et 8.
Kquatio>s de degré dix. — Deux cas peuvent se présenter, suivant que rabaissement du degré provient de deux solutions doubles ou de la présence iVune solution triple. Dans Téquation (1) correspondante L, M, Nsonl de degrés 6, 8 et 7.
I. Il y a deux Intégrales remarquables doubles, — Soient j^ = 00, y = o, d'où a2 = Yi = o. Après suppression du facteur^', il reste une équation (1) du degré indiqué.
II. Il y a une intégrale remarquable triple, — On partira de la forme de
l'intégrale
<-'— 2(P,/» 4- (3,jk' 4- j3,y -h {3o)C h- yj v'-f- y,j'4- y, j = o
[ya-+- yî4- y, -h I — 2(p, -+- (3j-h (3, -h i)],
et Ton obtiendra une équation (i) de même forme que tout à Tlieure.
Kqu4tio>s de degré neuf. — Ici encore, il y a deux cas à distinguer :
I. Il y a trois solutions remarquables doubles. — Soient^=o, j=i,^' = oo pour (^ = o, 1 , 00. On partira de l'intégrale générale et des conditions
ai-+-i-+-yj-hyj=2(;33 4-;3,-h(3,4-;3o), ai-+-2y,-h3y,= 2(3p,-+-2l3,4-(3,), en remarquant que la relation suivante, conséquence des deux précédentes,
permet de mettre en évidence le facteur j^ — i dans les coefficients de j^* elj^' et
FORMATION EXPLICITE DES ÊOITATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 5f)
le fadeur (y — i)^ dans les aiilres termes en sorte qu'après la suppression du facteur j-(j' — i), il restera Téqualion (i) demandée.
II. Jl y a une solution triple et une solution double. — Soient j)' = oo,v = o, on ])arhra de
4. Éf^L-ATia>'s DE DEGRÉ HUIT. — H v 3 Irois cas à distinguer :
I. Il y a quatre solutions doubles, — Quand ^ = o,^* = 00 son l deux solutions doubles pour C = o, C == 00, Tihlégrale générale prend la forme
Si >' = 1 , 1' = T| sont deux nouvelles solutions remarquables doubles pour C = I et C = Ci, les fonctions v,, ^3, ^2? ?i s'expriment en fonction rationnelle de T|, «1, Ya et de la constanle (>i, au moven des relations linéaires
— 3y, H- 6p, H^.^Pi -l-2;3, --2y, -ha,,
2Pî-h4Pi —y, -h2a, -h3(i — 2P0),
cl le premier membre de Téquation différentiel le correspondanle, après suppression du facteur j'(j)' — ^){y — li)j est de la forme (i), où L, M, N sonl des polynômes de degrés 4? 6 et 5, dont les coefficients s'expriment uationnkllkme:^t à Vaide de la constante arbitraire (^x^ des trois fonctions arbitraires o.^ , vj, T| et de leurs dérivées a',, y'^ et T, .
II. Il y a une solution triple (y = Qo) et deux solutions doubles (r = o, y=z i). On partira des formes suivantes de Pinlégrale générale et dans le résultat final on supprimera le facleur^'(^ — i)
i-Ky,4-y,= 2(j3,-»-P,4-(3i-h(3o), 2y,-h 3y,= 2(3(33-h 2(3,4- (3o).
III. Il y a deux solutions triples (r:=oo, r = o). — Dans le résultat final, on supprimera le facteur^^^, après être parti de la forme de l'intégrale générale
C»- 2(j3,7»4- (3,j«4- (3,7 4- (3o) -t- yjv'irz o [y, 4- 1 = 2((3,4- (3,4- (3, 4- ^,)\.
0. Equations de degré sept. — H }' a trois cas à distinguer :'
1. Il existe cinq solutions remarquables doubles. — Soient i^rr o, y . z i, j>' = 00, V = T<, V = T2 pour les valeurs o, 1, 00, C,. C2 de la constante, l/inié-
(k) A. CAIIEN.
^ralo «;rn«''rolc s't'nira
ri 1rs tondions [io> ?i> ?ji ?3- V-*? V^ s'^'xp»'»»»*^"*' en (bnclion rationnelle de T|. Tj. a, i:l des constantes arbilr.iires Ci, C», an movcn des relations linéaires
— y* +2,3, -H 4.^1 — ^i^o =tiai -+- •^•
l/('(|nalion difTércnliolle correspondante, après snppressioii dn factenr
est de la forme (i), où 1^, M, N sont des polynômes de degrés i, (i cl 5, dont les eocfficienls s^expriment uation^ellemeat à Vaille des constantes arbitraires (ii, (^2, des trois fonctions arbitraires ai, ï|, T^ et de leurs dérivées premirres a,, 1 ,, 1 ...
(>. 11. // existe une solution remarquable triple et trois solutions renia r- (juables doubles. — Soient j* rrr oo la solution triple pour C = oc et )' = o, y = i , y = T| pour il = o, i , C|. L'intégrale générale est de la forme
Les coenicienls [i.,, jï^, ^i, Ya s'expriment rationnellement à l'aide de 'i i, y^ n de la constante arbitraire C|, an moyen de relations linéaires qui se déduisent des relations {'à) en y faisant ai = o. L'é<piation diflérentielle qu'on obtiendra, a|)rrs siip|)ression iXn facteur j ( r — i) (y — T< ), sera de la forme (i) et ses coefficients seront des fondions rationnelles de C|, Ti Vj, T^, y.^.
III. // existe deux solutions triples {y = 0^ y ^=^ x,) et une solution double {y = 1). — L'intégrale générale est de la forme
et donne lieu à une étpiation dinérentielle qui, après la suppression du facteur
y- (y -■' 1), est de la forme (1).
FORMATION EXPLICITE DES ÊOIATIONS DIFFKUENTIELLES DE PKEMIER ORDRE, ETC. Gl
7. Équations de degré six. — H y a qualrc cas à (lisliii«^ner :
I. // existe six solutions remarquables doubles. — Suienl y^^^o, i'= i , >* = x, y=:T|, J' = Ta, j' = T3 pour C = o, I, 30, C|, Cy? ^^3- O» peut partir de ia for me
vl si l'un pose
:-3T'y,-2Tyj -t- «CT'^j-H 4«:T.3,h- 2<:;3, -a.C*. — T'y, -<- u<:ï'.3i-r .'iCT^, - (J(:.3„ - sC-T», - SC*.
les sept cocfdcicnls a,-, [ïy sont liés piii' les huit l'cluliuiis liiiéairt's
( ?(T,,(:,)=:o, o(T,. Cj)^*^ ç;(T3, Cj)— o, 0(1,1)^0,
(|iii ne seront compatibles (pie si le délerniinaiit A : F('r,, Tj, Tj, C,, (^o, (I3 ) est nul.
T* 2T, {Wï\ 2(:/r, c,
r 'Pi
aC.T.
•«(IsT.T (^3
d'où la relation al*:ébri(/ue (où F est un [)olynonie en T, , T.., ']':,, (],, (^;j, (J3)
^'(T,, T„ T3, (1,, Cj, C3) -: O,
qui permet d'ex|)rîmer T^, par exemple, en fonction al^chrif/ut' des fniiclintis arbitraires T, , T.j el des constftiitrs arbitraires (^, (].., (1:,.
Dansées conditions, on pourra résoudre les sept premières cMpialions (T)) par rapport aux a/, ,3y qui seront exprimés ainsi rationnellement à l'aide de T, , To, 1';,, C|, (^2, C3, liés par la relation (()). l/équation dillérenliellc correspondant à la relation (i) (où les fonctions a/, ,3y >onl exprimées au movcn des T et des (1), aprr> suppression du facteur j(r — i)( r — T,)( v — T.)^.)' — T.,), rst de la forme (1), où les coefficients des polynômes L, M, N sont exprimrs nvrio>M:Li.i:Mi:.N r à Cai le des trois constantes arbitraires distinctes (^,, (l^, (1;,, des trois fonctions T,, T2J T3 lires par la relation mjm-imuqi k (()) (et de leurs drrisres), ou
G 2 A. GAIIEN.
bien encore où les coefficients sont exprimés ALGF.BnIQlEMF.^T à Vaide des trois constantes arbitraires C|, C2, C3, des deux fonctions arbitraires T|, Ta cl de leurs dérii'ées,
II. Il existe quatre solutions remarquables doubles et une solution triple. Soient y = ce solution triple pour C =-= oc, et y = 0, ^' = 1,1* = T|, y = T^ solutions doubles pour C .-= o, C =-- 1 , C = C,, (] =z C.j. On part de
avec (les relations qui se déduisent de (3) en faisant a, = o. Ici L, M, N sont do degrés 3, 5 et 4i niais les conclusions sont idcnticpies a celles du premier cas du n" o.
8. III. // existe deux solutions triples (y=zo^y = (Xi) et deux solutions doubles {y= i,^ = T|). — On a l'intégrale générale (-) avec les relations («S),
-3y,TJ-+-6(33CiT,-h/,;3,C,T,-^2(3,(:, r= o, — 3y, -1-63, H-4;3, -4-23, =0,
I/éqnation diflérentielle correspondante, après suppression du facteur
est de la forme (i), où L, M, N sont des polynômes en y de degrés 2, 4 et 3, dont les coefficients sont des fonctions nATio>.\ elles de la constante arbitraire C,, des deux fonctions arbitraires T| et jîoj et de leurs dérivées T',, p'^,
IV. // existe trois solutions remarquables triples, — Soient j)' = o, y^^i^ y=zx) |>our C = o, C = 1 , C = oc. L'inlégrale générale est de la fornie
(? - (A > »H 3B j' - 3Hj -+^ IJ H- OC f-( A 4- B) v> -- o,
ol Téqualion différentielle correspondante, après suppression du fadeur j'''(y — iV-, est de la forme
Lr'- — 2^\j' ~t-y(y — i)N -- o, où
1 M -. (AH -hBA'4-2BB')v — B'(A+B)+(/— i)(AB'— BA')(A>»-i-aBv»-Bj)
^•" j -4-B(A4-B)[Ay+3B'v(v-i)4-B'],
' N :--: (AB'- BA')(Ay-r- 3B'v'- 3B':k + B') - B'(A'+ B').
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. G3
Ici les coefficients sont des polynômes entiers par rapport aux deux Jonclions arbitraires X etB et leurs dérii^ées premières A' et B'.
9. ÉguATio^s DE DEGRÉ CINQ. — Noiis avoHS qualrc cas à distinguer, suivant le nombre et la multiplicité des solutions remarquables.
I. Jl existe sept solutions doubles. — Soient o, i, ao, T|, To, Ï3, T^ pour les valeurs o, i, oo, C|, C2, C3, C| de la constante C. Dans l'intégrale générale
les sept coefficients ai, p/, yy sont liés par les dix relations linéaires (t)oir § 7)
I 9(T„C,)^o, cp(T„Ca) = o, 9(T„C,)=o, ?(T4,C0=o, (p(i,i) = o,
qui ne seront compatibles que si trois conditions écrites sous forme de déterminant
co
sont satisfaites, auquel cas les coefficients a,, fi/, vy seront des fonctions rationnelles des T| et Ci liés par les relations algébriques (6), ou encore des fonctions algébriques de T|, par exemple, ctdeCi, C2, C3, C4. Après suppression du
facteur y {y — CX — ^*)(y — ^^^)(y — ^3)(.X — ^^0? l'^q^ation dilTérenlielle correspondante est de la forme (1), où L, M, N sont des polynômes en y de degrés un, trois et deux, dont les coefficients sont des fonctions ration^fjj.es des T|, C|, liés par les relations algébriques (11) et de leurs dérivées.
II. Il existe une solution triple et cinq solutions doubles. Il suffit dans le calcul fait au 1 du § 7 de supposer ai = o, d'où deux relations
qu'on écrit sous forme de déterminant. On a, par exemple,
Tî
Tî
aT,
C,TÎ
2CtT,
Tî
C,TÎ
Tî
