Il n*y a pas d'intégrales singulières
Nous pouvons toujours disposer des coefficients de la transformation homographique de façon que les courbes y = ^(x), lieux des points de rebroussement des inlégrales, qui dans le cas actuel sont au nombre de deux, soient j' = o, r =3 I , et que de plus 1* = oo soit solution ordinaire pour C = x».
Kquatio>s de degrk six. — Dans ces conditions, l'équation difTérenticllc correspondante est en général de degré six. Les coefficients a/, ^/, dans l'inlégrale
•;;enerale
( 3t5 j-4- a, j + I )C^— 2 ((33 v' 4- ?î7' 4- (3i r 4- ;3o)C + yj/' -f- 7,7'-+- y,/ -H yo = o. sont liés par les relations
/ 2;3,p3-ar/3+3;3î=zo, PÎ4-2(3,p,-a,y,-a,y,-^3(3î = o, ('3) \ 2;3o;334-2(3,(3,— «jyi — y,a, — y34-(35=:o, (3î = yo,
Pî -^ 2(3o|3j— a,yo— «lyi — y,^ o, 2po(3i — «lyo— yi = o.
FOR%iTION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 65
résultant de ridentîlé suivante relative aux lieux des points de rebroussement
et Ton a, pour l'équation difierenlielle correspondanlr, a|)rcs sn[)prcssion du farteur^'(^— i)5,
-H 4 [(2 a,/ H- a,)/' -h a',/* -f- a, y] <jui, en tenant compte des relations (i3), est de dc'^'ré six et de la lornie
Les polynômes L, M, N ont les dévc^loppenienls suivants :
M = (2a,y -h ai)(y;y'-+- y;7'-+- 7i.>' "+" /o) -^ (^2 v--l- ^;.v)(3'/3 v-h- ■.».•/./ -f- •/,)
- 2(2;3,.v ^ 3,) (3; v»4- ^;7^4- ;3; r -- 3; ), y^^^y'iy-^r-r^'.y'-^ ?; r^-:- ^; v -.- ^;)^
où les a/, |3|, y,- sont liés par les relations (i3).
Eclations de degré cinq. — L'o(|ualion s'abaisse au dej^ré cinr/, s'il exisle une solution remarquable double y soit^ z=: oc pour C = x, d'où
(a, V 4- i)C^-- 2(P3j.= 4- ?, v-^-r- 3, j -r (3, ) C 4- y, vM- y,r'-f- y, v 4- y.,:= o
avec ridenlité
(?3r»4- P,/*4- ?, V 4- ;3,)«- (a,7 4- i)(y3 H4- yj v'-H y,.!' -- /o) = r3^v^n.>- •)'.
Les relations qui en résultent
2?2+3p3=o, ;3î-i- 2^^,33- a,y3-- 3;3J=:o, 2,3„3i - ^r/»-- yr-o, 2,3o|33 4-2;3,;53-yîa,- -y3-i-,35=io, ,3j4-2;3„,3j" a,y,--y,=:.o, 35--- y,.
permettent d'exprimer ^3? Ya>T«>To ^" fonction rationnelle des |io» [^u i^a? ^o, x, C. 9
6() A. CAIIF.N.
liés par les relations
(,5) ^p,^'a. + [3,«î p,«jy p',(,+a,)>3zo.
y. = |3,(3^o-3?,)+«î(2i3<.|3.-«iPî)-«.Pî-2«,p,i3,-hP«. L'équalion dinerenliellc a la forme (i3) avec
M= a, (/, j'+ y'.jK» -h y'.y + y'o) + «', J (3-/,j'» -h a y,j -f- y,) -h 3^,?; (4/ — i)
- 6P,7»(P'.7 + P'o) - 4i3.7(?;7' + ?',y + (3',) - ap,((3',7» + |3;7»H- i3',7+ (3',).
Toi Yi, Y2i Ys doivent être remplacés par les expressions (i6), Yo» Y*' ïa) Ta P^*" leurs dérivées; les coefficients de l'équation différenlielle sont donc des fonctions rationnelles des quantités jS©, ^i, pa, ai liées par la relation algébrique (i5) (et de leurs dérivées), ou bien encore si l'on exprime ai algébriquement à Taide de ?0) Pn ?3> ces coefficients sont des fonctions algébriques des fonctions indépendantes ^Oî ?i) p3 et de leurs dérivées.
Equations de degrk quatre. — L'abaissement au Ae^ré quatre peut provenir, soit de l'existence de deux solutions remarquables doubles, soit de Texistence (ïune solution remarquable triple,
1. // existe deux solutions doubles, — Soient y = qo et ^ = T pour C = oc et C = o. Aux relations (i/J) et (i5), il faut ajouter les relations
(17) 3^3 ï« -H- 2y,T -h y, = o, yjT^-f- 2-/1Ï -h 3yo= o,
qui expriment que j'==T est solution double pour C = o. Alors, après suppression du nouveau facteur y — T, il reste une équation (i) où
M^ (ai/34- 3a;y3- 6^3?; - 4P,l3; - 2(3|(3;)y*
rpj y
les a/, 3i, Y' élant liés par les relations algébriques (i5), (i6), (17).
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 67
H. // existe une solution triple. — Solt^ = oo pour C==oc. L'îniégrale
s écrit
(?- 2(P3y»-4- (3,j«4- (3,y -h (3o) C -f- yaj'-H y, v»-h y,7 -h y^= o;
on a, comme précédemment,
(Ps^ -+- P.y'-^ P,/4- (3o) - 7iy'- y,y'- yiy -yo= ^ly'iy - 0'
et, en posant po = A, on met Tintégralc générale sous la forme
qui donne lieu à une équation différenlielle qu'on peut écrire successivcmenl, après suppression du facteur r'(y — i)^,
64 X gyiy- (2/ - 1)'/'- 4[247'~ ^4/ -h 3)/-f- A']*=: o,
9/»-h 6(8y«— 8/ 4- i) Ay -h A'»=: o, / ^ ^/ r 3(— Sy^-hSy - i) 4- 2(2^ - 1) y/^Cy ^ 1 ^
