I. — Démonstration de propriétés générales de ces équations
1. Je vais établir deux théorèmes relatifs à la forme de l'intégrale générale et au rôle des racines du discriminant.
Théorème I. — Quand le genre w de la relation entre les constantes intégrales est égal à un, Inéquation différentielle se met sous la forme
H(r,^') , K(r, ^) ^, , V/QR ^ sjQW
oii H et K sont des polynômes en y de degrés respectifs p — 1 et p -\- \ au plus, en désignant par ip -\- 1 le degré de QR, et A une fonction arbitraire de x.
En effet, on sait que, dans les conditions de Ténoncé, l'intégrale générale peut
se iTicllre sous la forme
'^/["v^QTf^^^''^'^^^'"^^
où le second membre est une intégrale de différentielle totale exacte. De plus, l'intégrale de première espèce (où H est de degré p — i),
V^QH
n'a que deux périodes, qui sont des constantes absolues (*), Les périodes de J(y, x) étant des constantes, Tinlégrale
^--^HlimY
une foncllon algébrique de^', et, par suite, dans la différentiel le totale exacte
^}ili:tïdv-\'(:i{y,x)dx,
la fonction G{y^ x) est déterminée à une fonction d'addilion prés X(x), et comme -7- ( — ,:^^^ 1 clianj^c de sio^ne avec v^QR, on en déduit immédiatement
que la fonction G, convenablement choisie, change de signe avec y/QR.
Posons
Gomme K ne peut devenir infini, sans que H le devienne en même temps, K. est un polynôme en y; de plus, comme cette dernière remarque s'applique aux valeurs infinies de >', il faut que K soit au plus de degré/? -h i. Il en résulte que l'équation différentielle prendra bien la forme annoncée.
2. Théorème II. — Quand le genre w de la relation entre les constantes intégrales est égal à un, les racines d'ordre impair du discriminant de l'équation du second degré en y\ définissent en général des intégrales singulières, ou, dans certains cas exceptionnels^ un lieu de points de rebroussement où y est infini.
En effet, soitj^ =: ^(j;) une racine de Q qu'on peut toujours supposer égale à
(*) Paixlevé, Leçons de Stockholniy p. 1 16-117.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 69
zéro, en changeant j^ eny-\-g(x); supposons que y = o n'annule pas K, on pourra, dans le voisinage dey =: o, développer F el G de la façon suivante
Gzz: -^ [a(x) -+-...] (a^o),
On en déduira
F=:-Ltj3(x)+...] (|3^o).
ce qui est impossible, puisque
dx dy Donc j^ == o annule K, el Téqualion (i) H/-hK-+-Xv/QR=o
étant vérifiée poury = o, j^= o est solution singulière,
3. Remarque, — Nous avons supposé implicitemenl que H (y, x) ne s'annulait pas pour y = g'{x). Si ll{y y x) s'annule pour y = g(^x)j on peut toujours supposer que g{x)^o et le raisonnement précédent montre que K s'annule pour y=zo',y est donc en facteur dans H, K, QK, et figure dans QR nécessairement au premier degré. Si donc on forme Téqualion (i), on voit aussitôt que les deux valeurs de y' sont infinies pour j^ = o.
n. — Formation explicite des équations de l'espèce indiquée.
4. Problème. — Cherchons à former les équations du second degré eny\ de degré q donivé en y y telles que n branches de V intégrale se permutent autour des points critiques mobiles, et pour lesquelles le genre tjs de ta relation entre les constantes intégrales est égal à un.
Nous nous donnons un nombre pair 2y? -f- 2, degré de S = QR, avec les inégalités 2j9 -H 2 ^27 — /\, p=q — 3, et nous cherchons, parmi les intégrales de
première espèce,
ll( y, x)dy ^
toules celles qui se laissent déduire, par une transformation (Vordre ai, d'une difTérenlielle elliptique, par exemple de
dy
V/(,yt)(,^«y')
u.^ désignant une constante numérique.
Etant donné le radical
si nous posons
M et N étant des polynômes en^ de degré /i, pour qu'une telle égalité définisse une correspondance avec un radical de degré 2/? -h 2, il faut el il suffit que
l'expression
(M«-N«)(M«-|ui»N*)
renferme en facteur un carré parfait en j', de degré \n — ip — u, d'où 'in — p — 1 (*onditions portant sur les 2/1 -h i coefficients inconnus de ç(j^). Donc, une fois (JL-^ donné, il reste /? 4- 2 coefficients indéterminés^ à l'aide desquels les coefficients de S(^^, x) s'expriment al gébriquement ,
D'autre part, la diflerenlielle abélienne de première espèce
correspondant à la différentielle elliptique
dy
et qui est connue, une fois qu'on s'est donné ?(j^), dépend algébriquement de /? H- 2 fonctions arbitraires de x et de la constante arbitraire u. 11 en résulte que la différentielle totale exacte
où X est une fonction arbitraire de x^ dépend algébriquement de /> -f- 3 fonctions arbitraires.
o. Le degré de l'équation différentielle, mise sous forme entière
H'/' + 2 HK^' + K' - X' S = o,
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7I
étant np -4- 2, pour qu'il se réduise à q^ il faut et 11 suffit que les deux polynômes
Il et K»-X«S
aient un facteur commun de degré 2/> -f- 2 — q\ et comme H est de degré p — i, il en résulte que, pour une correspondance avec un radical de genre p^ le degré q est au plus égal à 2/? -f- 2 et au moins égal à /> 4- 3.
Supposons d'abord que H et K n'aient aucun facteur commun, alors tout facteur commun à H et K^ — X*S est une solution remarquable de l'équation différentielle, c'est-à-dire qu'il annule les coefficients de dy et dx dans la différentielle totale
De plus, siy = g{x) est un zéro d'ordre a commun à H et K^ — X^S, j^ = g{x) est un zéro d'ordre a -j- i de l'égalité
Co étant une constante convenable.
Donc, dans ce cas, pour qu'il y ait abaissement du degré de l'équation (1), il faut qu'il y ait des solutions remarquables, et le degré q de l'équation (i) est lié au degré 2/? -I-2 du radical Set au nombre p des solutions remarquables de multiplicité a^, par la relation
Toutes ces propositions s'établissent par le même procédé que celui que nous avons employé au Chapitre 111. 11 suffit de répéter presque identiquement les mêmes raisonnements.
Mais dans le cas où H et S ont s solutions communes, ces s solutions ne sont pas, en général, intégrales remarquables de l'équation, et, pourtant, d'après une remarque faite plus haut, leur présence abaisse de s unités le degré de l'équation.
Il est clair qu'on aura la solution la plus générale en supposant que l'abaissement provient uniquement de l'existence de solutions remarquables d'ordre deux. Car on aura ainsi autant de conditions qu'il y a de degrés dans l'abaissement, chacune de ces conditions introduisant une constante arbitraire.
De plus, dans ce cas, comme il n'y a pas de lieu de points de rebroussement^ Q ^ I et, par suite, S ^ R ; on aura de cette façon 2/? -+- 2 — q relations de la forme
(S) Cpz:iJ(7p, x).
^p élanl une racine de H(y^ x) = o {q^p -h 3). On trouve ainsi 2 /> -+- a — q constantes arbitraires.
iy. En définitive, n cl q étant donnés, pour avoir les équations (1) les plus gé^ nérales correspondant au cas de ni = i, on prendra successivement tous les systèmes d'entiers positifs i, p satisfaisant à la relation
(2) 2q — ^=z'2i-{- 2p -h 2 ou q =zi -hp-h 3,
Soit /, p un de ces systèmes, les équations (i) correspondantes dépendront de
fonctions arbitraires et de 2/? 4- 2 — q constantes arbitraires.
Il y aura autant de types d'équations (i) qu'il y a de modes de décomposition du nombre q — 3 en une somme de deux entiers positifs i et/?.
111. — Résolution rapide des objections qu'on peut faire a la théorie
précédente.
7. Nous avons dit que l'intégrale / l et la transformation de passage
v = 'f (y) = \u^\ dépendaient algébriquement de /? -f- 2 fonctions arbitraires,
et nous avons admis implicitement que, dans le cas le plus général, H a ses racines simples f que II et R n'ont pas de facteur commun et enfin que les conditions (S) étaient compatibles et déterminées. Examinons successivement ces diflerents points.
8.. Objfxtions I ET II. — Le polynôme H a toutes ses racines simples et les
deux polynômes H et R n'ont pas de facteurs communs.
Voici une démonstration rapide de ce fait qui rentre dans l'étude de la réduction des intégrales hyperelliptiques.
Si nous laissons arbitraire le degré n de la transformation, il faut et il suffit cjue les premiers membres des relations (a),
H dy
(^) Wr.(x) V^
r'-Hdj
•^r.ur) vR
