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FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 78

OÙ mi, /?!, ^2, /?2, ..., m-ip^ ff'2p sont des nombres rationnels quelconques, soient des fonctions indépendantes de 3/? -f- 2 coefficients distincts.

Pour X = Xoj choisissons arbitrairement les valeurs de ces coefficients et, par suite, des seconds membres, et soient ol^^ a2, . . ., a2p les valeurs des seconds membres. Nous pouvons toujours disposer des nombres rationnels //ly, n^ de façon que les quantités //*| coi 4- /?| 0)2, /n2CL)| -f- //2^2î • • • <• /Wa/^^i -*- '*2/>W2 diffèrent aussi peu que Ton veut de ai, a2, . . . , cL2p.

Donc, pour x = Xq et pour ces valeurs des my, /ia, les conditions (a) sont vérifiées par un choix des coefficients de H et R aussi voisins que l'on veut des valeurs initiales choisies arbitrairement ; et, par conséquent, pour x = Xo, H et R satisfaisant aux conditions (a) ont des racines simples et n*ont pas de racines communes, a fortiori pour x quelconque (sauf pour des valeurs exceptionnelles de x).

9. Objection III. — Les relations (S) sont compatibles et déterminées.

Pour écrire qu'il existe 2/? -|- 2 — q solutions remarquables d'ordre deuXj \\ suffit d'exprimer que pour les 2/? -f- 2 — q fonctions distinctes ri(^),

Ci =J(/,,.r) =J,(j:'),

Les ii{x) sont des fonctions transcendantes de y? -f- 3 fonctions arbitraires de X.

Si les relations (S) ne sont pas compatibles et déterminées, c'est qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, est identiquement fonction des autres, autrement dit que les 2/? -f- 2 — q — 1 premières racines de H ne peuvent donner à J(^, x) de valeur constante, sans qu'il en soit de même de la racine suivante, et, par suite, de toutes les autres par raison de svmétrie. Alors le degré irréductible de l'équation est nécessairement égal à /? 4- 3.

D'autre part, l'équation différentielle primitive de degré 2p -\- 1 s'écrivant

et son intégrale générale étant de la forme

^fy = ^n[/^'^"^''"^^]'

on voit que si l'on écrit cju'une racine de R = o est une intégrale ordinaire, C. 10

A = o, et, par suite, réquation se réduit à

C'est une équation de Riccati, qui dépendrait ici d'au moins quatre fonctions arbitraires. Il y a donc contradiction et, par suite, les conditions imposées sont compatibles et déterminées.

10. Objfxtio?* IV. — Le DEGRÉ de l'équation différentielle correspondant à r intégrale précédente est bien y en général^ égal à <jr, et non moindre que q.

Kn eflet, s'il s'abaissait, c'est qu'il existerait d'autres solutions remarquables, car, ])Our x = j^o, les constantes C étant quelconques, H et R n'ont pas de solution commune en j'; il n'existe donc pas de fonction y =^ ffi^) î^nnulant identiquement H et R.

Il suit de là que, si les '2p -{- :>. — q conditions (S) entraînent comme consé- (juence qu'une nouvelle racine de II est solution remarquable, il en est de même de toutes les autres racines de H, et le raisonnement s'acbève comme dans le cas de nr = o. (Chapitre III, § 8.)

Objection V. — L'équation en y' est bien ikhéductible, du second degré et de s^enre />5 i , Autrement la différentielle abélienne — :£r- s'exprimerait ration-

nellement à l'aide d'une constante d'intégration, ce qui est absurde.

Objectioi* VI. — L' intégrale a bien exactement // ^KXfiCHEs permutables autour des points critiques mobiles, et non un nombre moindre.

En effet, supposons que le nombre de branches, au lieu d'être n, s'abaisse à n'(n' <C n), en supposant n'^i.

Le raisonnement fait dans le cas de ni = o montre alors que les constantes remarquables ne seraient pas distinctes, ce qui est contre l'hjpothèse.

D'autre part, si /i'= i , l'équation est nécessairement de degré q =z ^ et toutes les racines du discriminant sont des intégrales singulières.

Si donc on excepte ce cas de q = 4i ^' = 4? ^^ est certain que n est bien le nombre des branches de^^(^-) permutables autour des points critiques mobiles.

Si, au contraire, 5r = 4> ^= 4> l'intégrale obtenue plus haut se réduira à une intégrale -d points critiques fixes, quel que soit l'entier n.