Nous arrivons donc aux conclusions suivantes

(Conclusion. — Si, dans Tintégrale que nous avons appris à former, on donne

FORBIATION EXPLICITE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 7.)

aux constantes des valeurs arbitraires distinctes, et si Ton remplace les fonctions par des fonctions arbitraires quelconques, rinléj:;rale ainsi définie vérifie une équation différentielle du second degré en y\ de genre p^u, prend exactement n valeurs autour des points critiques mobiles et correspond au c(fs de Tîj = 1 .

L'équation différentielle correspondante est de degré q > \, dépend de i -^ ^ fonctions arbitraires et de i>./> -H i>. — q constantes arbitraires^ en comptant la constante (jl; car on peut toujours supposer qu\ine des constantes remarquables est o, en observant qu'on peut toujours effectuer sur C une transformation algébrique A(t\iQnA'à\\V d'une arbitraire et d'une seule, et (jui conserve la courbe

(:* = (i — c')(i — fjL*c*).

Remarquons enfin que si /? = i , comme 77 est égal aussi à un, ré(|uation a nécessairement ses points critiques fixes et, par suite, q =. /{, /»== i\.

Inversement, si /y = 4, p est nécessairement égal à un (à moins qu'il ne soit nul, auquel cas ct serait nul également) l'équation a encore ses points critiques Jixes, et R est égal à 4«

Nous voyons donc (|ue, si Ton prend y = /îi le cas de 73=1 ne peut se présenter que si /i = I . Si, au contraire, q >► /\^ on formera une infinité d'équations correspondant à ni = 1 , // étant quelconque et plus grand que un, et ces équations dépendront, comme nous l'avons dit, de I-+-4 fonctions arbitraires et 2/> 4-2 — q constantes arbitraires.

Si toutefois 2/> -f- 2 — // = o, on aura une seule constante arbitraire, la con-

stante u.

IV. — Comparaison avec la forme aC* — 2|3C-+- y = o de l*intégralk

(iÉNÊRALE.