Revenons maintenant à la forme (4) aC*— 2[3C-hy=:c
de l'intégrale générale, où a, [iJ, y sont de degré n en y.
Dans le cas de isr = 1 , /i est toujours pair, soit n = 2V. Cherclions donc, q étant donné, ainsi que n pair et égal à 2v, parmi les équations (4) la généralité de celles qui correspondent ^/ ni = i .
Tout d'abord ces dernières équations ne peuvent se rencontrer que dans la classe qui correspond ày = o et, par suite, à A* pair, soit A== 2/> -H 2. Nous savons que les équations (4) de cette classe dépendent de i ^ 4 fonctions arbitraires et 2/1 — q-\'k=2n-\-q — 4 — '^i constantes arbitraires, qu'il faut diminuer
A. CAIIEN.
de 3 si ce dernier nombre est supérieur à 3, et remplacer par o dans le cas contraire.
Nous venons de voir, d'autre part, que y étant donné, ainsi que /?, le cas de TîT = I nous a conduit à une forme d'équation dilTérentielle, dépendant de «4- 4 fonctions arbitraires et 2/? + 3 — ry constantes arbitraires.
Nous avons donc, dans le premier cas, 2/1 — y-hA* — 3 — (2/? 4-2 — ^H-i) constantes de plus que dans le cas de gi=i, c'est-à-dire, comme k =. ip-\- 2.. An — 4 constantes de plus.
On voit donc que, pour la solution générale, on a 73 = 0, comme nous le savions, et, pour que rs soit égal à un, il faut que les constantes arbitraires, qui figurent dans chaque solution correspondant ày=ro, soient liées par 2/î — 4 conditions. 2/1 — 4 > o? à moins que /?, qui est pair, ne soit égal à 2.
Si /i = 2, on trouve le môme nombre de constantes qu'en supposant nj = 1 . C'est le cas qui correspond aux équations à points critiques fixes; on a, en effet, ^ = 4 avec quatre solutions singulières.
12. Étudions de plus près la nature des ^n — 4 relations dont nous venons de ])arler, en formant directement l'équation (4) correspondant à une relation de genre un.
L'intégrale générale, en remplaçant snC par C et sn[fXa:)d.] par - X,
prend la forme
ou
MN v/(i - X*)(i - {a'X»)-4- X v/(N'- M')(iN»- jjL'M»)
(N«-~|jL»M''X«)C«-2v/(i-X«)(i-fx«X»)MNC-hN»-M*X*i=o;
on a donc
a = N»~fjL«M*X«,
(3 =: MNV(i - X»)(ï - fx*XM',
Formons l'équation différentielle correspondante
lA ^y ày]-- dx ' ôx ]
dx ôx
FOR]tfATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 77
On a (en posant X'= -7- j
2\ àx ' dx )
= MN(N^-M^)(.-fx»X»)-XX'(N'-fx'M')
du)
ôx ^ dx
= v'(i-X«)(i-fx»X«) (n ^ - m ^ j ( M* + fx' N' X«
H- v/'(i — X»)(i-fji»X>) MX 2 fx» M» XX '
= V/(.-X»)(.-fx'XM(N^-M^)(M' + fx«N'X')
H-XMNX[(N'-fx»M'X')(2/jL'X'— i-fx') + (i-X«)(i-|ji«X»)3pi'M'],
De même
«f-PS^^'^""~^'^^^'^^^K^^-''f)^'''"'^''"^'^-
P|-^f = ('^f->'f)(^''-^-'^^H'ir^^"^
n8 A. CAIIEN.
On obtient ainsi l'équation difTcrentiellc
() = X'[iM-(i-fi'X=) + N'(X'-')][iJ^*('-X»)M»-t-(fx«X'-i)N']
Le facteur indépendant dev'' peut s'écrire
Il résulte de ce calcul que -f- i , — », H — > sont des valeurs remar-
quables de la constante, rendant carré parfait le premier membre de l'équa lion (4), et donnant lieu, par conséquent, à un abaissement total de degré \n L'équation différentielle correspondante, de degré 4/i au plus,
n'esl autre que Téquation formée au début de ce Chapitre et pour laquelle
(l-\*)(l-|UL«X*)
liL Ces conditions, qui sont nécessaires pour que za soit égal à un, sonl suj/isantés en général, c'est-à-dire, pourvu qu'aucune des intégrales remarquables
correspondant aux valeurs — i, -f- i , H — > de la constante n'annule en
uiéme temps le discriminant p- — ay.
Kn effet, considérons l'expression
et, supposons qu'on y remplace C en fonction dey, c'est-à-dire, si l'on veut, C (Ml fonction rationnelle de y', y (x figurant comme paramètre).
Je dis que le radical ainsi formé est une fonction rationnelle de y, y.
S'il en était autrement, c'est que p, considéré comme fonction de y, admettrait
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 79
un point critique y =^ g{^)t ^el que, pourj^ = ^, C fût égal à zb 1 ou rb - » soit,
par exemple, C = i .
Posons C — i = C; Téquation entre G' et^ étant carré parfait pour C'= o, on peut l'écrire sous la forme
a,(7«-cî?,(y-+-(/-^-)*-/î=o [y.(^)^o],
?i(y>'^) ^^ s'annule pas pour ^v = ^(o:), sans quoi la solution remarquahir y=zg(^x) annulerait en même temps le discriminant p- — ay de l'équation
Dans le voisinage de j^ = ^, la racine C, qui s'annule avec j^ — *^^ est de la forme
et, par suite,
B étant holomorplie dans le voisinage de yz= g,
p est donc rationnel en (y, y')\ le genre de la relation entre les constantes intégrales est donc au moins égal à un, et, comme il ne peut dépasser un, il est
EXACTEMENT ÉGAL à r>.
V. — Formation explicite des équatioxs a delx branches (cj==i).
1 i. Partons de la difTérenlielle elliptique
du
On peut toujours, moj'cnnant une transformation Iiomographique effectuée sur y, admettre que la transformation d^ ordre deux est de la forme
Ay*+B
Nous avons deux cas à distinguer, suivant que l'équation différentielle possède huit ou six intégrales singulières,
I. Il Y A HLiT i>TÉGR\LES SINGULIÈRES. — Lcs équatious Correspondantes sont de degrés 8, 7 ou G.
I® Equations de degré huit. — Les fonctions A, B et a étant arbitraires.
8o A. CAIIEN.
Téqualion diflTércnlielle de degré 8 a pour intégrale générale
OU encore, si l'on fait le changement simultané de fonction et de constantes
snC = C', sn / >.(j7)rfjr = — X,
d*où
A > - -h n __ Xv /(i — C')(i - fx'C') -h c V(i - X')(i - fx'x*-)
7*4-1 ~ i-fjL«XMy*
= X«[(7«-hi)*-(Aj*4-D)»][(7«4-ir-|UL«(A7«4-Dn,
ou
(3)' 4(A-D)VV*H-4(A-D)7(7»-4-i);(A'/«4-D')/4-... = o.
On obtiendra l'équation la plus générale de degré 8, en remplaçant y par
-rrz 7^> OÙ A, /il, A'i sont des fonctions arbitraires de x, et les coefficients de
ce//e équation seront ainsi exprimés rationnellement à V aide de six fonctions arbitraires de jc, et de leurs dérivées,
1^ Équations de degré sept. — Écrivons quc^ = oo (qui est une des racines du coefficient de j^'^ dans l'équation précédente) est solution remarquable, pour (] = o, d'où
(1) n = snr r>(x)lz=X.
Dans Téquation (3) le terme indépendant de j^ s'abaisse au septième degré, et Téquation diflerenlielle devient
[.UA-H)j/-^(j»-Hi)(A>«-hB')P
= -r== ^ [(^»4-,)e^(Aj*+B)'][(7*-4-i)^-fx'(Ay'4-B)*],
V(i — B')(i — |jl'B')
et se réduit au degré sept.
3" Equations de degré six. — Écrivons, en outre, que ^ = o est solution remarquable pour la valeur C| de C (où C, de C'= snC), d'où
(5) A = sn[/>.(x) d. + c] = Jlvj'jzCTHi^f^C^^ C.s/(' -B')(. -££)
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 8l
LVquation devient alors
(6) 4(A-B)V/'4-4(A-B)(j«4-i)(A'7'-^B')/4-7(ay^-i-P7'4-...) = o,
a, p, . . . étant des coefficients dont je n'écris pas les expressions développées et qui contiennent rationnellement A, B et leurs dérivées A', B'; A doit être remplacé, en fonction de B, au moyen de la relation (5). Lorsque, dans (6), on remplace j^
par -TT? 77^> A, /i|, k étant des fonctions quelconques de x^ on obtient l'équa-
tion la plus générale de degré six avec huit intégrales singulières. Elle contient rationnellement les trois fonctions arbitraires A, A|, Ar et algébriquement la fonction arbitraire B et la constante arbitraire C| .
II. Il y a six intégrales singulières. — Les équations difTérenli elles correspondantes sont de degrés 6 et 5.
1® Équations de degré six, — Dans ces conditions, l'expression
[{y+ 0*~ (A/'-4- B)P[(^«+ 1)«- jx«(A7'-+- B)'] contient, en facteur, le ciUÉg^une fonction linéaire, d'où
(i-A=)(i-^*)(i-B»)(i-B--|UL«) = o.
Soit, par exemple, B = -f- i • L'équation différentielle devient
[2(A~i)/+(7»4-i)A'P->.«(i-A)[j>(i4-A)-+-2(i-A)][(y*-^i)«--^»(Aj^-+-i)^],
et l'équation la plus générale de cette espèce contient rationnellement les deux fonctions arbitraires A, X, les trois fonctions arbitraires A, A,, k de la transformation homographique, et les dérivées A', A', A^, k'.
2** Equations de degré cinq, — Ecrivons que^ = oo est solution remarquable pour G = o, d'où
A :=sn / X(a:) dx ,
v/(i-A*)(i~fx»A^) 4(A-i)/^+4(A'-i)j(y»-+-i)/-i-... = o.
L'équation la plus générale, où l'on a remplacé y par sa transformée homographique, contient rationnellement les trois fonctions A, Ai, A, leurs dérivées premières et contient algébriquement A et A'.
