I. — Equations a coefficients algébriques
1. Dans le cas où la relation entre les constantes intégrales est de genre zéro, l'équation
(3) I-/''- 2M/-+-N=rO
se ramène à une équation de Biccati
au moyen de la transformation
(5) ai//* — 2j3,// 4- •/, = o,
a^, Pi, yi étant des polynômes de degré n en y^ dont les coefficients, ainsi que L, M, N, sont des fonctions algébriques des coefficients de (3) el, par suite, des fonctions algébriques, si les coefficients de (3) sont algébriques.
Soit donc à déterminer explicitement toutes les équations (3) de degré q DOKwé en y, et à coefficients algébriques dont ^intégrale générale ne prend
qu^un nombre donné // de valeurs ln^j\ autour des points critiques mobiles,
2. Nous devons distinguer quatre cas, suivant que le nombre de valeurs remarquables de la constante est au moins égal à 3, égal à 2, i ou o.
1" Il y a au moins trois constantes. — L'équation de Riccati (4), ayant trois
intégrales particulières algébriques, a son intégrale générale algébrique et, par
suite, dans
les coefficients sont eux-mêmes algébriques. Il suffira donc, dans le problème général résolu au Chapitre III, d'astreindre les / -+- 4 fonctions arbitraires à être algébriques; l'intégrale générale de l'équation (3) est alors elle-même algébrique,
.4° Il y a deux constantes remarquables, — On peut toujours admettre que
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 83
ces valeurs remarquables sonl o et oo, et que Téquation (4) se réduit à
du -, -=- —Ku, dx
On a la relation
k désignant le nombre des intégrales singulières, /|, l^ le nombre d'intégrales distinctes y ^= g{x) pour C=oetC = 30.
L'intégrale générale a pour expression
OL
avec
par suite
(6) (3;^ar/, = î5---ay = n»Q»R,
avec
y\ = ^(y — ë^\y^(y — gtY'" 'iy — gi Y^
Les nombres
^\9 ^1> •••» ^tl ^t+\9 ^/+1> •••> ^7+1
sont deux systèmes d'entiers quelconques positifs vérifiant la condition
de plus, M, /«, giy g'i. . .., gt^ gt^\^ •••» gq-ft ^^ ^^s coefficients de p sont des fonctions algébriques. Les coefficients de n, Q, R sont donc eux-mêmes des fonctions algébriques, d'après (6).
On pourra exprimer, par exemple, que le polynôme de degré 2/1
(3«n*Q'R admet q — k racines g^ de multiplicités e^ 62, . . ., e^, ^f+n • • •, ^1 a> ^'^"
conditions algébriques qui réduisent à
(ûT — A: + i)+ l
le nombre des coefficients arbitraires. Les fonctions g s'expriment algébrique-
ment, àTaide de ces coefficients arbitraires; et, si Ton désigne par M une fonction algébrique quelconque, on pourra poser
y — he-S^^'(y ^^)e, . . . (^ g^y,^ et l'équation correspondante dépendra de
fondions algébriques arbitraires.
Si j >> A", on pourra prendre comme fonctions algébriques arbitraires Jes
q — A -h 2 fonctions g^ M, A et ^^^ des coefficients de Q, R par exemple, et
les coefficients restants s'exprimeront algébriquement à l'aide de ceux-là et de leurs dérivées.
3*^ Il y a une seule valeur remarquable. — Soit C = oo. L'équation de Riccati ramène alors à une équation linéaire; soit
-^ =Km -h P.
dx
De plus
/ désignant le nombre de racines distinctes cn^ de a = o. On a
u = Ç.f + 9, (/= eS<^'", 9 =ffj dx^
«^«. p = êLiii^, y^y.-^P^y + «.y\
et par suite
P«-ay = PJ-a,yi = n«Q»R.
On exprimera que le polynôme de degré 2/1
admet que 5^ — k — n = l racines distinctes ga g-jy • • • » g"/ de multiplicités
ei, «2, ..., e/ (e, -f- e,4-. . .4- ^/= /i); on posera
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PRE3ilER ORDRE, ETC. 85
et les ëqualions cherchées s'obtiendront en remplaçant dans
a, U' — 2j3 M -H yi =r o, u par
K et P étant algébriques.
On prendra comme fonctions algébriques ^, , ^2, . . . , ^/, K, P et n H — ^
autres fonctions parmi les coefficients de Q, R, et les autres coefficients s'exprimeront algébriquement à l'aide des précédents et de leurs dérivées.
4** // n'y a pas de valeur rema^^quable. — La formule fondamentale se réduit à
q z=iin -{- k.
Soit
l'intégrale générale de l'équation de Riccati (/{), on a
Les coefficients de n, Q, R sont ies fonctions algébriques. On décomposera le polynôme
dont les m -\- j -\- k -\- n -\- 1 coefficients sont algébriques, en un produit de deux facteurs a,, y* de degrés /?, dont les coefficients sont des fonctions algébriques des m 4-y -f- A -f- ^4- a fonctions algébriques précédentes, et l'on remplacera dans l'équation I a, w' — 2 j3i u -f- y, =: o
ainsi obtenue, u par l'intégrale générale de (4), où H, K, P sont algébriques.
3. Dans les trois derniers cas que nous venons d'examiner, le nombre des valeurs remarquables étant inférieur à 3, l'intégrale générale est transcendante, quand on prend au hasard les fonctions algébriques, coefficients de V équation de Riccati (4).
Ainsi, dans le cas où il y a deux valeurs remarquables, pour que l'intégrale
soit transcendante, il faut que la fonction u{x)^ définie par — = K(j?), ne soit pas algébrique, ce qui a lieu si K(^) e§t pris au hasard.
