Proposons-nous maintenant le problème suivant
86 A. CAIIEX.
Former toutes les équations (3) de degré q donné, non intégrables algébrigi'EMEïST, dont ^intégrale générale est une fonction qui ne prend quun nombre Jî ni (nov donné) de valeurs autour des points critiques mobiles.
Ici le nombre des valeurs remarquables de la constante est nécessairement
inférieur à trois.
I^a relation
q =z2Fi -^ A — X
montre que n satisfait aux conditions
1" // n'y a pas de constante remarquable. — Dans ce cas il n'y a pas de solutions remarquables; par suite X = o, et n est limité par les conditions
on est donc ramené au problème suivant, déjà résolu :
Former toutes les équations de degré q (y ^4)? possédant q — a/ij intégrales SINGULIÈRES ct dont Vintégralc prend n^ valeurs autour des points critiques mobiles, n< étant l'un quelconque des entiers vérifiant la condition (7).
Par exemple, dans le cas de ^==6, on voit immédiatement que /i| ne peut
prendre que les valeurs â et 3, et Ton est ramené, par suite, aux deux problèmes
suivants :
que nous traitons, d^ailleurs, tout au long dans nos applications (Chap. IV et V).
1^ Il y a une seule valeur remarquable. — Soit C = oc. Considérons un système quelconque d'entiers positifs /«, ni, A'i satisfaisant à Tégalité
<7 = /i -h /il -+- A|.
Le problème revient à former les équations de degré q possédant q — l^ — n^ solutions SINGULIÈRES, ct dont V intégrale a n^ branches. Posons
avec
ûfi -+- aj 4- . . . 4- ei/j = /i 1 .
On obtiendra toutes les équations correspondant à ce choix particulier d'en-
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 87
tiers, en donnant aux entiers ^i, a^, . . ., a/^ toutes les valeurs positives possibles vérifiant l'égalité précédente; on obtiendra ensuite toutes les équations possibles correspondant à ce cas, en épuisant les systèmes d'entiers /|, /?|, A| en nombre yî/ii vérifiant l'égalité
Dans riiypothèse où la constante remarquable C = oc correspond à nne seule solution remarquable d'ordre deux, l'égalité précédente se réduit à
q z=L 2 /i , -h /••, — •>. si /i j >► 2
et
<y zz: 4 -h A 1 — I si // , ~ 2 ( X , ^ 4 )•
Par exemple, si y = 6, on se trouvera dans l'un des trois cas suivants :
il—i, / — I, y=i, m — '}.,
I i =z 2, /• = O, y =n o, //<z=il.
3® Il y a deux valeurs remarquables, — On ne peut plus déterminer d'avance de limite supérieure de /?, sauf dans le cas que nous allons considérer tout d'abord, où, à chaque valeur remarquable de la constante, correspond une seule solution remarquable d'ordre deux. Dans ce cas, de la relation
q zzzin -\- k — 2 on déduit
et l'on est ramené à un xïomhvejini de problèmes connus.
Dans le cas où les solutions remarquables sont en nombre quelconque et de multiplicités quelconques, n peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on veut. Il suffit de se reporter à ce que nous avons dit pour les équations à coejficients algébriques, quand il y dideux valeurs remarquables de la constante, pour avoir une solution quelconque du problème.
3. Enfin, il est bien évident que nous venons de résoudre en même temps le problème suivant :
Former toutes les équations de degré q donné, à coejjicients algébuiquks, dont r intégrale est une fonction transcendante qui ne prend quun nombre fini (non donné) de valeurs autour des points critiques mobiles.
