II. — Equations algébriques ex

Ly*-2M/4-N=o,

DONT l'intégrale GÉNÉRALE EST DE LA FORME

a, (3, y ÉTANT DES PRODUITS DR LA FORME Xi, X,, . .., X;t ÉTANT DES CONSTANTES NUMÉRIQUES DONNÉES.

6. On peut toujours supposer que Ton a divisé le premier membre par a et, par suite, que a ^ i ; soit donc l'intégrale générale

L'expression

peut s'écrire

où H est une fonction rationnelle de j/-', y^ puisque l'équation différentielle dont (i) représente l'intégrale générale est algébrique eny^y.

De plus, la fonction algébriquel^{y^yj x)^ H (y, ar), qui possède les m' pôles gi{x), g2{^)^ ' • -y ffm'{^)j est racine d'une équation du second degré, dont les coefficients sont des polynômes de degré m' en y.

Formons cette équation. Posons

S est un multiplicateur de dy — y dx.

De plus, en différentiant par rapport ky, on obtient

d'où les deux équations

:*-(ps

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 8()

Par suite, S est racine de réquation

OU

(|ui, résolue en S, peut s'écrire

I <)y , y ày ^ ôv

y àf

Pour que S soit algébrique, il faut et il suffit que ^ soit rationnel en }\ c'osl-

à-dire que si y=f[x) figure dans y à la puissance X et dans P à la puissance jjl, la différence 2[jl — X soit un entier positif ou négatif; en sorte que l'on \oil immédiatement que l'intégrale sera de la forme

C,==(7~o-,)^...(7-é'/i)^''(A + Bv/H),

A|, Xa, . é . , X„ étant des constantes numériques et A, B, H des polynômes en )*. Si A est de degré/? -+- i, l'emploi de la transformation homograpliique monire que l'on peut toujours supposer

^1 H- Xj H- . . . -+- ).„ -f- /> 4- I = o.

7. Inversement, si Von se propose déformer toutes les équations de ni:r.ui': q en jTj du second degré en y y dont l'intégrale générale est de la forme (2), oii X|, X2, . . . , X„ sont des constantes numériques doxm'ies, on remarquera que

ces équations admettent un multiplicateur rationnel en^, y/H de la forme