M=-LN = P»QR

P, Q, R élanl trois polynômes de degrés i, y, A* liés parla relation

Téquation Q = o (de degré y) désignant le lieu des points de rebroussementj et l'équation R = o (de degré A*), les intégrales singulières.

La relation (4) est, par hypothèse, irréductible en y et C, sauf pour certaines valeurs exceptionnelles de C et, en particulier, pour les valeurs C = C^ (nécessairement en nombre yï/ii), dites valeurs remarquables àa la constante, et telles que l'équation (4) admet, pour G = C^, quel que soit x^ des racines multiples y = gr{x)y dont les ordres de multiplicité Or, br^ .,., Cr sont liés au degré q de réquation dilTérentielle par la relation

(a) ^ — a/ï-h A— ^[(ar— i)4-(6;.— i)H-...-l-(er— i)] {»).

Ecrivons que l'équation (3) possède y courbes y=g(x) lieux de points de rebroussement, A: intégrales singulières eip solutions remarquables

respectivement d'ordres ai, a2, . . . , a^,, avec la condition

Ui — i-hai — i-h...-+-ap — i = 2Ai-f-A — q, nous obtenons

conditions algébriques; et, si toutes ces conditions sont compatibles, l'équation diOerentielle dépend de

3^ 4-2— ( ay -h/i J — (2 n 4- A — 7) zn 14-4

fonctions arbitraires et de p constantes arbitraires. Par suite, à tout choix des entiers positifs i, y, A*, satisfaisant à l'égalité (6), correspondent un nombre Ji ni de systèmes de conditions algébriques entre les coefficients de l'équation (4).

Chacun de ces systèmes définit une équation (4) dépendant de /4- ^fonctions arbitraires el d^ un certain nombre de constantes arbitraires, égal au nombre des solutions remarquables.

(!) P. PAiNLBvé, Leçons de Stockholm, p. 167.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. 9

Ce nombre atteint son maximum 2n -{- k — y, quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.

8. Dans ce dernier cas, qui peut être considéré comme le plus général, nous faisons la discussion complète des conditions algébriques correspondantes, et nous montrons :

I** Que les conditions précédentes sont compatibles é»/ détermim^es;

2" Que réquation (4) ainsi obtenue eny^ C est irréductible;

3® Que V équation différentielle (3) correspondante (dont le degré est au plus égal à q) est exactement de degiié q\

4" Que le nombre des branches de V intégrale, permutables autour des points critiques mobiles, nombre qui est au plus égal à /j, est bien égal ^> /?,

et que, par suite,

5** Le GENRE xa de la relation entre les constantes intégrales est nul.

La question posée au début est donc résolue dans le cas de ?ïT=r o, et le type le plus général des équations (3) dépend de /-i-4 fonctions arbitraires et de 2/1 H- A' — q — 3 CONSTANTES ARBITRAIRES (*) distinctcs, i étant le nombre des racines doubles du discriminant M* — LN de Téquation en y\ ci k le nombre des intégrales singulières distinctes,

9. Si l'on passe au cas où le genre m est égal à un et si l'on reclierclie d'abord directement les équations (3) correspondantes, on remarque qu'il n'y a pas, en général, de courbe Q = o, lieu des points de rebroussement (^), et que Téqualion 11 = o (de degré 2/> 4- 2) désignant les intégrales singulières, l'intégrale générale est donnée par la quadrature de différentielle totale de première espèce

oïl X(j:?) est une fonction arbitraire de Xj et où les polynômes ii(y, x)^ ^U'f ^')'> l\{y^x) dépendent de p -\- 1 fonctions arbitraires et d\nic constante

(M Le nombre in-^k — q des constantes arbitraires distinctes peut être réduit ù 'in -\- k — q — 3 {ce dernier nombre devant être remplacé par zérOy s'il est négatif), parce que toutes les formes (4) de l'intégrale générale se déduisent de l'une d'entre elles

par le changement de C en -j; -t X, jx, p désignant des constantes numériques.

(') Dans quelques cas exceptionnels, on peut, cependant, rencontrer des fieu.r de points de rebroussement, pour lesquels les deux valeurs de y deviennent injtnies,

lO A. CAHEN.

arbitraire |jl, module de la différentielle elliptique, dont -jj- esl nue trans-

V ** formée rationnelle.

Si Ton veiii que ré(|uahon differcnlielle coricspondanle, dont le degré apparent est ip -r 2, s'abaisse au degré </, il faut introduire, comme plus haut, les nolions de solutions remarquables et de constantes remarquables; J'où des relations, qu'on peut écrire sous la forme transcendante (*)

(7) Cp=J(/p,x),

oii y^ est une fonction algébrique des p -+- 2 fonctions précédentes.

Ces relations sont en nombre 2/? + 2 — q pour la solution la plus générale. On trouve ainsi i -\- 4 fonctions arbitraires et 2/> 4- 2 — (7 constantes arbitraires, en fonction desquelles les coefficients s'expriment algébriquement. Nous conservons auv relations (^) leur forme transcendante, nous v ajoutons

les conditions transcendantes, exprimant que l'intégrale / ■ l' n'a que deux

périodes, qui sont des constantes absolues, et nous montrons que l'ensemble de ces deux séries de relations transcendantes est compatible et déterminé (^).

Il va donc i -\- \ fonctions arbitraires, et, comme, d'autre part, les relations peuvent recevoir une forme algébrique , on en conclut que les coefficients dépendent algébriquement (\c /•4-4 fondions flr/7>///Y///e.ç convenablement choisies.

10. Observons, dans ce dernier cas, que, si l'on met l'intégrale générale sous la forme

il n'y a pas de lieux de points de rebroussement (y=o) et a, , |î, , y, sont de degré 2 // en ^.

Inversement, si une relation (-4/ Ac degré in définit l'intégrale d'une équation dilTérentielIc (3) de degré q en j', cette intégrale acquiert in valeurs autour des points critiques mobiles; les coeflicients de (3) dépendent de i-\- ^ fonctions arbitraires et de \n -\- '>.p — q — i constantes arbitraires, et le genre ro est nul, iNlais, conune dans le cas de nj = i , les constantes arbitraires sont au nombre de '>./> -1-2 — q^ il faut en conclure que, dans le cas de nr = 1 , les \ n -\- 2/> -t- 2 — q constantes remarquables, ou bien ne donnent pas lieu chacune à une seule solution double, ou bien sont liées par /\n — { relations algébriques.

( ') Ces relations poui raient, «railleurs, être ramenées à des formes algébriques.

(*) Les autres objeclion<, que l'on peut faire au raisonncmcnl. font également ici l'objet d'une discussion roniplcl«% mais rapide, analogue à celle que nous développons à propos des équations de genre xa = o.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. ï I

Nous montrons qu'il existe alors quatre constantes remarquables telles, que le premier membre de (4/ devenant un carré parfait, elles donnent lieu respectivement à un abaissement de degré n.

Ces quatre constantes ne sont autres, d'ailleurs, que les quatre racines du radical, qui engendre la différentielle elliptique dont il a été question un peu plus liaut.

11. En définitive, nous obtenons le théorème fondamental suivant :

Théorème. — Les entiers q et n étant donnés {/\S,q^ ^n), appelons /, y, k trois entiers positifs satisfaisant à la condition

'\i-\-j -^ k—iq— /», et aux inégalités

y 4- A* ^2, 3j-hk^2n, k^q — in.

A chacun de ces systèmes d^ entiers i, y, A*, correspondent une infinité d^ équations (3), dont V intégrale acquiert exactement n valeurs autour des points critiques mobiles. Ces équations, qui forment deux classes distinctes^ suiiYtnt que le ge^re m de la relation entre les constantes intégrales est égal à zÉno ou à unr, dépendent algébriquement de i-hi fonctions arbitraires et de constantes arbitr vires, dont le nombre est a/î 4- A* — q — 3 ou k — 7 ( ' )» selon qu^on se trouve dans l'un ou l'autre de ces deux cas.

Le théorème n'est en défaut que si Tenlier q étant égal à 4 y on a A r= 4^ <^" A" = 2, y = o. Dans ces deux cas exceptionnels, l'équation (3) correspondante a toujours SCS points critiques fixes,

12. Un problème intéressant consiste à former les équations diflercnlielles do Tcspcce précédente, dont les coefficients apparliennent à une classe donnée de fonctions ; nous avons là encore un genre de questions, où le nombre des constantes remarquables ]Oue un rôle des plus importants.

Voici les deux principales questions, que nous résolvons, et qui se rattachent à cet ordre d'idées.

I. Former les équations (3) à coefficients algébriques, de degré q donné enyj dont l'intégrale générale prend un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles,

II. Former les équations (3) à coefficients algébriques de degré q donné,

(*) Les deu\ nombres in '\- k — q et A- — q doivent être remplacés par zéro, s'ils sont négatifs.

dont l'intégrale est une fonction transcendante qui ne prend quUin nombre /ini (yoy donné) {*) de X)aleurs autour des points critiques mobiles,

13. Les principes utilisés prëcëdemmcnt et les méthodes correspondantes s'appliquent à Tétude beaucoup plus compliquée des équations du second degré en y et de degré q en y

(3) Lv'«— aMy-f-Nmo,

ajant pour intégrale générale

(8) a'(?~2p'C4-/=zo,

où a', j3', y' sont des expressions de la forme

i^{^)[y - gx{'^)f'[y — gt^^)]^»- '[y - gm(^)f'^,

A,, Aa, ..., "^^m étant des constantes numériques quelconques données, et pour lesquelles nous établissons une formule (a)', qui peut être considérée comme une généralisation de la formule (a) du n° 7.

Nous n'avons pas encore résolu complètement la question, qui consiste à former explicitement les équations (3) de degré q^ dont Tînlégrale générale est de la forme (8), mais les quelques développements que nous consacrons à ce problème suffiront à montrer comment les méthodes précitées permettent de le traiter complètement.

Pour terminer, nous consacrons quelques lignes aux équations (3) qui admettent un facteur intégrant algébrique et nous établissons, là encore, une formule (a)", analogue à la formule (a) du n** 7, permettant de traiter le problème de la formation explicite de ces équations.

14. Je rappelle aussi les nombreuses applications dévelo[)pécs dans le corps de ce Mémoire.

Tout d'abord, comme je l'ai déjà signalé plus haut, je forme explicitement loutes les équations du premier degré en j^, qui correspondent aux valeurs 3, 4, 5, 6, 7, 8 de l'entier q et aux valeurs 9., 3, 4 de Tenticr n.

J'insiste longuement sur certains exemples particuliers, afin de bien montrer le but poursuivi en introduisant la méthode en question.

Je forme ensuite toutes les équations du second degré en y\ dont l'intégrale

(*) Ce nombre est toujours supposé le même pour toutes les intégrales, sauf pour des intégrales exceptionnelles.

FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. I 3

n'acquicrl que deux branches autour des points critiques mobiles et pour lesquelles rentier gr prend les valeurs 4> 5, 6, 7 el 8.

Enfin, je forme les types les plus intéressants d^'quations du second degré en y^ dont Y intégrale générale acquiert trois valeurs autour des points critiques mobiles (*).