Etant donnée une équation différentielle
où B et A sont deux polynômes en y premiers entre eux pour x quelconque, le premier de degré q (^), le second de degré q — 2, si l'intégrale générale ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, on peut la mettre sous la forme
La relation (2) définit, par hypothèse, une fonction ^(j?), qui, pour une valeur quelconque donnée à la constante C, a n valeurs distinctes, I/équation de degré n
en y
ne sera réductible que pour certaines valeurs exceptionnelles de C, et, en particulier, pour les valeurs C-=Cr, dites valeurs remarquables, de la constante pour lesquelles Téquation (2) admet, quel que soit x^ des racines multiples y = g{x)^ dites solutions remarquables, et dont les ordres de multiplicité sont liés au degré q de l'équation par la relation (')
(1) Les principaux résultats contenus dans ce Travail ont été résumés dans une Note présentée à TAcadémie des Sciences (séance du 26 décembre 1898).
(*) D'une façon plus générale, si pi et çi sont les degrés de B et A, ç est le plus grand des deux, nombres />j, ^|-H2.
(* ) P. Painlkvé, Leçons de Stockholm, p. i46.
l.\ A. CAIIEN.
2. Imersemenl pour que Téqualion (a) défiDisse l'inlégralc générale d'une équation (i) de degré </, il faul et il suffil qu'il existe p solutions remarquables ri (r), y^ (r)» . . . , .rp(.r) de multiplicités «i , a^, . . . , ^p, telles qu'on ait
Soit donc Tintégralc générale
Si nous exprimons que jv= é'^'C*^) ^^^ ""^ racine d'ordre (7^ — i de Téquation
et, de plus, qu'elle rend constant le rapport -,
nous formons ar conditions algébriques portant sur les in-{-i coefficients de a, p. Si Ton élimine gr{^) entre ces conditions, on obtient Or — i conditions algébriques entre les coefficients a/, ^y et la constante Cr.
En opérant ainsi pour chaque solution remarquable, on obtient
(flr, — 1) 4- («1— i) 4-. . .-h (flr,,-— i) = 2/t — 7
conditions algébriques (S). Si toutes ces conditions sont compatibles, Téquation (2) dépendra algébriquement de ^ H- i fonctions arbitraires et d'un nombre de constantes arbitraires égal au nombre des solutions remarquables; ce nombre sera maximum et égal à in — q^ si toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.
On peut donc dire que la solution la plus générale dépend de y -f- i fonctions arbitraires (nombre indépendant du nombre n des branches de l'intégrale générale) et de •>./? — q constantes arbitraires.
H. — COXPATIBILITÉ DES RELATIONS (S).
3. Les conclusions précédentes ne sont rigoureusement exactes que si les conditions (S) sont compatibles et déterminées.
Nous allons démontrer directement que, au moins pour la solution la plus
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. l5
geivérale (*), c'esl-à-dire pour laquelle toules les solutions remarquables sonl d'ordre deux, il y a bien compatibilité.
En eflel, dans ce cas, les in — g conditions sont de la l'orme
(S) 1 ' "Hyt^^y
oii j^i (^), j'2('2^)^ • ' * 1 y-in-qi^) sont des fonctions algébriques des coeflicienls inconnus a/, ^y de a, ^.
Les constantes C|, Co, ..., ^^n-q étant entièrement arbitraires, le système (S), qui contient algébriquement les fonctions a/, py, sera résoluble par rapport à 14 /« — q d'entre elles, à moins qu'un des seconds membres de (S), par exemple le dernier, ne soit identiquement fonction des autres.
Supposons qu'il en soit ainsi, et exprimons que toules les autres racines de D, soil
sont des intégrales de (i), d'où le système
^{ytn—q-k-ïf ^) I ru ^(yf/t-7-*-l< '^)
p/ «(.ri«-t» -f )
Pour des valeurs arbitraires données aux in — i constantes (>, C, a fortiori, les 2// — 2 seconds membres de (S) et (S') ne sont pas distincts, et, par suite, l'équation (i)' correspondant à ces m — i valeurs remarquables de la constante dépend au moins de quatre fonctions arbitraires; mais c'est une équation de Riccati; or, l'intégrale générale d'une équation de Riccati dépendant au plus de trois (onctions arbitraires, il y a contradiction et, par suile, les équations (S) sont bien résolubles par rapport km — q des fonctions a/, |3y.
( » ) Cf. P. Palxlkvé, Leçons de Stockholm, p. i rx. — Annales de la Faculté des Sctencrs de Toulouse, loc. cit.
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il résulle de là qu'en faisant abstraclion de certaines valeurs exceptiokkelles des conslaoles c, les conditions (S) définissent 'in — q des a/i-j-i foncfions a/, jîy algébiuquement à l'aide de q -f- \ d'entre elles et de 'in — q constantes arbitraires.
