III. — KnPLOI DB la TRANSFORXATIOX HONOGRAPUIQt'E
t. On peul remarquer que, si l'on eircctue sur j^ une transformation homographique, dont les coefficicnls sonl des fondions de x el sur j; le clian<^cmenl de fonclion j'=zo(X), les équalions (i) el (2) gardent leur ybrme cl leur degré; donc, à (ouïe solution de la question, pour un système de valeurs données de n^ q, en correspondent une infinité dépendant de quatre fonctions arbitraires.
Or, nous venons de voir que la solution la plus générale dépendait de ^+ 1 fondions arbitraires.
Si q est plus grand que m, nous avons bien un minimum de quatre fonctions arbitraires; mais si y ^3= 2, c'est-à-dire si nous sommes en présence d'une équation de lUccati, il semble qu'il y ait contradiction, puisqu*en réalité nous ne disposons plus que de trois fonctions arbitraires. Cela tient à ce (pie l'équation de Kiccali admet une transformation en elle-même de la forme
dépendant d'une fonction arbitraire.
En cfTel, on peut toujours ramener cette équation à la forme j''= o, au moyen d'une transformation homograpbique el, sous cette dernière forme, on voit que l'équation ne change pas quand on remplace x par ^(X).
Inversement, si une équation (1) admet une tr\nsformatio:« en elle-même dépendant dUine fonction arbitraire, c'est une équation de Riccati.
5. Enfin, on peut se servir de la transformation homograpliique, suivie du changement de variable, pour ramener l'équation (1) à des formes canoniques intéressantes (*), et alors les équations (1) répondant à la question ne dépendront que de (<7 -f- 1) — 4 = 7 — ^ fonctions arbitraires; par exemple, on peul supposer que B est seulement de degré q — 3 et c\\\e y' est de la forme
On peut choisir comme fonctions arbitraires les coefficients 6©, 6,, . . ., 6^,
( *) Voir P. Paim.evk, Annales de riicole Normale, |>. 2i-3o et 101 -io4; 1891.
FORMATION EXPLICITE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE PREMIER ORDRE, ETC. I7
du dénominaleur, qui dépendent algébriquement des coefficients ay, ^y et non de leurs dérivées; il reste alors quatre fonctions arbitraires, lesquelles ne subsistent plus, d'ailleurs, si Ton assujettit le degré du numérateur à être égal k q — 3, le coefficient de y^~^ étant égal à un. Alors les coefficients ao, ûTi, . . ., aq^ s'exprimeront algébriquement à l'aide des coefficients b et de leurs dérivées premières.
