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nous les représenterons désormais par M au lieu de (—1) ^ M, et, par suite, nous aurons

OUo]

n'Ol[o,A,A')

Observons d'abord que cosam^w et Aam4^ sont des fonctions rationnelles de sin'^ am 4^- et de k^. En effet, 71 étant un nombre impair,

on sait que

cosamTiz = cosamzy(sin'^ amz, A^),

Aamwz=Aamz /^(sin^amz, A^),

f et J\ étant des fractions rationnelles. En posant z ■= 4^, on a

cosam4^^ = i, Aam4«^ = i7

et, par suite, cosam4^, Aam^zs s'expriment rationnellement à l'aide de sin''am4t7 et de P. Il n'y a, d'après cette remarque, qu'à se rappeler les formules d'addition et de multiplication pour conclure

( 45 ) que — et M peuvent se mettre sons la forme

— = F(sinam423', A"), M = F, (sinam4sy, A^), F et F, représentant des fonctions rationnelles.

20. On a vu (§ 13) que zs peut prendre vv' valeurs, en posant pour abréger

Elles se partagent également en v groupes dont chacun en contient v'; soient

celles de l'un quelconque d'entre eux. Elles définissent une seule et même racine, soit de l'équation modulaire, soit de l'équation du multiplicateur; nous poserons donc

-^ = F (sin am4^y'\ k"^) = F (sin âm^zsf\ A-^j =.,.— F (sin sim^rsj'\ A'-), M, = F,(sinam4<',A=^) = F,(sinam4wf,A2)=... = F,(sinam4t^f ,A2),

en désignant respectivement par

(',, (-2, ..., i\; M,, Mo, ..., Mv

les racines de nos deux équations.

Or nous allons voir que les vv' expressions sinam4t5y^ sont racines d'une équation de degré vv', dont les coefficients sont des fonctions entières de A*. Faisons

»r =: sin amz;

nous avons pour un nombre impair n

P« smamwjz = — »

P„ étant un polynôme en x de degré n^^ et les racines de l'équation P„ = o sont

AmK-i-Am'ili.'

X = sinam-î >

en donnant à m, m! les valeurs

(46) Supprimons toutes celles de ces racines pour lesquelles m et m' ont un diviseur commun avec w; en répétant les explications données au § 12 pour montrer" que le nombre des racines restantes est

où a, b, c^ ... sont les facteurs premiers de w, nous verrons sans peine qu'en posant

(lô ac

/(^) = r-ii-^

a b abc

où P,;, P,,,..., P„ ,... sont les numérateurs des fractions qui donnent

a b ab

smam - z, sinam r ",.••, sinam -jz,... en lonction de x^ 1 équation

demandée estf^jc) = o {*). Au reste, l'observation précédente ne diffère pas de celle qui sert à former l'équation aux racines primitives de l'équation binôme.

21. Il est maintenant bien facile de montrer que toute fonction rationnelle et symétrique soit de

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