Substituant dans P la valeur qui précède, on trouve
0, ( z, — 1 R' ) n'ÏTiu «'«'tt;
= le ^ e 2^ \ I — fî
xn
X±/ ri i-KZ\ I /<' /TT \
et, parmi calcul tout semblable à celui qui a été effectué plus haut, il vient
. n"— I ,, „ , inoi I n' \ 'f
K ,,A r—~ n'{ri>-,) —
i—cc
en posant
Les nombres |jl' et lï' sont premiers entre eux; donc, abstraction faite du signe, tout nombre pair non divisible par n" est compris une fois, et une fois seulement, sous l'une des formes
4pt,'j, 2Jn" -^ l\i)Js, 2Jn" — ^(J-'s;
et tout nombre impair non divisible par n" est compris une fois, et une fois seulement, abstraction faite de son signe, sous l'une des formes
{2J — 1)72"+ ^i^'s, {ij — i)n" — l\ix.'s.
Déplus, parmi les nombres 2Jn" — ^i^-'s^ quelques-uns peuvent être négatifs; supposons qu'il y en ait v, et désignons-les par
De même, parmi les entiers (ay — \)n" — f\iL's, v' sont négatifs, savoir :
En faisant attention que
on voit qu'il est permis de remplacer tous les exposants négatifs par leur valeur absolue, à la condition d'introduire en même temps le facteur
dans lequel
et Ton obtient Mais on a (§ 15)
donc
'=■ . - If"" j
Il reste à définir v' — v ; or cette différence est égale à l'excès du nombre des entiers négatifs de la forme (27 — i)n" — [\i}'s sur celui des entiers négatifs de la forme syV — i^iiJs. Pour chaque valeur de s la première forme contient autant de nombres négatifs que la seconde, ou un de plus. Afin de distinguer ces deux cas, on pose
2^,'^- — n"cji + o,
qs étant le quotient de 2/Ji'^ par n" pris par excès ou par défaut de telle
sorte que r^ soit en valeur absolue inférieur à — ; et alors, si r^ ^ o, les
deux formes contiennent le même nombre d'entiers négatifs, et si rs<^ o, la forme [7] — i)n" — l\ii' s en contient un de plus. Ainsi v' — v est égal au nombre des restes négatifs obtenus en divisant
par n"\ mais 2p/ est premier avec n", et, d'après une formule deCauchy rappelée tout à l'heure, on a
n. ^^.'st: /2u'\ i—j-,
D'un autre côté
SH) „ = sin — ;7- ;
et, par suite, il y a autant de facteurs négatifs dans le premier membre qu'il y a d'unités dans le nombre v' — v des restes négatifs ; donc
2V jjsini^ = (-.r-«v/;?.
En comparant, on trouve
- .77 /-/ ,.-:j> \-<TJ^
ce qui donne enfin
p= (?) C^)^"^vvv'ï(7^^.)^n-Yr
18. Nous remettons à la place de P sa valeur, et la formule précédente peut s'écrire
D'après une remarque faite plus haut (§ 13), en représentant successivement par jui' les ^{n) entiers inférieurs à n et premiers avec /?, on a
m = Wo y',
iriQ étant l'une des valeurs de m correspondant à l'hypothèse [x' = 1; il vient donc
^=W ri ^=(^)(?)(;^0'''^'"'^'''^K^''^-^>'(<''^'^')'
et, par conséquent, le signe de la quantité que nous nous étions proposé d'étudier dépend de celui de ( — )•
En se rappelant la valeur de M donnée à la fin du § 14, on trouve
immédiatement
C'est le résultat déjà énoncé (§2).
vni.
19. Nous arrivons à l'objet principal de ce travail, la formation pour un nombre impair quelconque 11 de l'équation modulaire et de l'équation du multiplicateur. Le nombre des transformations propres
au degré de n est T [n) j posons T («) = v. L'équation modulaire est de degré v; ses racines sont les diverses valeurs de l'expression
if = II" Il sincoam â S zs = Il \\ -4-7 — r-, leurs développements en séries sont donnés par la formule
Les racines de l'équation du multiplicateur sont
