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soit de
M,, Mo, ..., Mv,
peut être obtenue rationnellement au moyen de k-. En effet, p étant un entier positif quelconque, posons
On sait que toute fonction rationnelle et symétrique de certaines quantités peut être exprimée rationnellement par les sommes des puis-
!*) L'équation f[x) = o, que nous considérons ici, avait déjà été indiquée par M. Kronecker {Monatsbericht der liônigl. Akademie dcr IFissenschafien zu Berlin, vom 19 Juli 1875, p. 5o3).
( 47 ) sances semblables de ces quantités; le théorème énoncé sera donc démontré, dès qu'on aura fait voir que les sommes S^ sont des fonctions rationnelles de k^. Or nous avons
+ F/'(sinam4sT;.-',P) -h...-f- F/'(sinam4t;yf , P); -. faisant successivement
et ajoutant, nous voyons que v'Sp est une fonction rationnelle et symétrique des racines de l'équation /{x) = o, et par suite la somme S^ elle-même s'exprime rationnellement à l'aide de k^.
Les mêmes choses étant vraies à l'égard du multiplicateur, nous concluons de là l'existence de deux équations du degré v, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de A^ et dont l'une a pour racines
l'autre
Nous nous occuperons successivement des propriétés de ces deux équations.
22. En prenant t' pour inconnue, l'équation modulaire peut s'écrire
P'' -+- A, M«P^-* + Ao M-^P^-^^ 4- . . . = o,
A,, A 2,..., étant des fonctions rationnelles de u^. Posons
m, ^ n (mod. 8), nio ^ 2n (mod. 8),
;?/,, /Wav étant des nombres positifs inférieurs à 8, il vient
( 48 ) el comme le module transformé X ne peut devenir infini pour aucune valeur finie de k, il faut que
soient des polynômes entiers, dont nous déterminerons bientôt le degré.
Nous allons faire voir que celte équation est irréductible. La démonstration que nous donnons de ce théorème important est la même que celle de M. Ronigsberger (*). Nous ne faisons que l'étendre au cas d'un nombre impair quelconque avec ou sans diviseur carré.
Parmi les racines de l'équation modulaire se trouve
foit
une équation dont les coefficients sont rationnels par rapport k u et admettant celte racine i> = (p ( -j? nous prouvons qu'elle a en même temps toutes celles qui sont comprises dans la formule
et que, par conséquent, le polynôme F(m, v) contient comme facteur le premier membre de l'équation définie plus haut. Il est donc impossible de décomposer en facteurs rationnels le premier membre de l'équation modulaire.
On a par hypothèse
/?, <7, r, s étant quatre nombres entiers, tels que
ps — qr = i, on met à la place de w
r -{- sa
p -\- qa>
Journal de M. Borchardtf t. LXXII, p. 176.
(49) il vient
Si de plus, les nombres /?, q, r, s sont assujettis aux conditions suivantes :
^E=i (mod.2), çEEso (mod.2), r^EO (mod.i6), ^e^i (mod.2),
et
(7)='- On sait, d'après un résultat dû à M. Hermite (*), que
donc l'équation
F(m, if) = o
admet toutes les racines comprises dans la formule
/l r-hsw\
/?, q, /', s étant définis comme on vient de le dire. Or il est facile de prouver que ces valeurs de v peuvent se mettre sous la forme
/2\ fn' i&t\
Faisons pour un instant
I r -\- sa
n p -h qw
les formules de M. Hermite donnent
in
pt3
(^)e-'^fâ
^X H- fjtcr^
X, p., V, p étant des nombres entiers tels que
Ip '- liv =ï, Xesi, fx^o, vsso, |0^i (mod.2).
(*) Comptes rendus, t. XL VI, p. 5ii.
( 5o ) En remplaçant rs par sa valeur, nous avons
V -1- po /?v (/> H- ç-w) H- p(rH- Jw) X + piCT «>(/; H- <7w) H- pi(r 4- ,vw)
Nous profitons de J'indélermination des entiers /?, 9, r, .v, X, p., v, 0 pour poser
nlq H- [i,i- = o, ou bien
Décomposons n en deux facteurs «' et n" , l'un d'eux pouvant être l'unité, et prenons s de telle sorte que n' soit le plus grand commun diviseur de s et de «; comme X et |Ji d'une part, ^ et 9 d'autre part sont premiers entre eux, il vient
s =z X/2', îi"q = — /JL.
On conclut de là
nvq -\~ ps = n' [Ip — [J^v) = «', rilp -h ixr = n"{ps — qr) = n".
et en posant
il vient
nvp -+- pr— i6ty
V H- pcT r?
A -+- fxni n n
La question est de savoir s'il est possible de satisfaire aux conditions précédentes, les trois nombres n\ n", t étant donnés et n'ayant pas de diviseur commun.
Nous observons d'abord que les deux équations
Tikp -i- p^r = n", nvp -h pr = i6t entraînent
n'p = p -i- i6tqj r = i6tl — n"v.
D'après cela, voici dans quel ordre nous allons satisfaire aux con-
( 5i ) ditions imposées : en premier lieu, nous prendrons pour/? un nombre impair tel que
et pour q un nombre pair, choisis de manière que, posant
p = n p — \btq,
[X et p soient premiers entre eux. Nous verrons dans un instant que cela est possible.
En second lieu, faisant v=:j6v', nous déterminons X et v' par l'équation
Ip — i6/xv'= I.
Nous posons enfin
s = ln%
r = i(ùt\~n"v.
De ces équations, on conclut
\(n'p — \Ç>tq) + n"qv = i,
ou bien
ps — qr = i,
et, comme r est divisible par 16, on a
donc
(0 l '—] = çfw).
De plus
V H- pcT "' ., , 16'
et, puisque
p=n'p-i6tq, (^^^ =
on a
donc
ce qui donne, en remettant à la place de w'sa valeur,
On voit ainsi que l'équation F{u,v) = o, admettant la racine V == (ç (-]^ est en même temps satisfaite par toutes les valeurs comprises dans la formule
ce qui démontre le théorème énoncé.
23. Il nous reste à montrer que p et q peuvent être déterminés de manière à satisfaire aux conditions demandées. Et d'abord il est toujours permis de prendre pour q une puissance de 2. Cela posé, dans le cas le plus général, n' et n" ont des facteurs premiers communs et d'autres qui ne le sont pas. Faisons, comme au § 11,
et divisons par v" les nombres de la suite
— i6/<7, n' - i6tq, 2fi' ~ i6tq, ..., {'/' — 1)71' — i6tq;
comme n' et v" sont premiers entre eux, les restes sont tous distincts, et
par suite sont
abstraction faite de l'ordre. Nous prenons un de ceux qui sont premiers avec v", et soit
PqTi' — î6iq
le nombre correspondant; il n'y .a qu'à poser
P=-Po+hv% h étant un entier quelconque, pour être sûr que
p z=i pn' — 16 tq
(53) est premier avec p.. D'un autre côté, v" étant un nombre impair, il est toujours possible de déterminer A, de telle sorte que
yr)o + Av":E^i (mod. 8),
et par suite ( - 1 =1. Les conditions voulues peuvent donc toujours être remplies, comme nous l'avions annoncé.
24. Le théorème précédent peut servir à démontrer les deux propriétés suivantes de l'équation modulaire.
