I. V équation modulaire demeure invariable quand on change u

en V et v en {-\ u.

En effet, l'équation modulaire étant

F(«, p) r= (>, on a

et, par suite,

en écrivant - à la place de 'o. Les deux équations

F(«,P) = o, f[(^(^)«] = o ont donc une racine commune

elles sont donc identiques.

H. L équation modulaire demeure invariable quand on j chafige u

en - et V en -•

il vient

(54) ■ En effet, écrivons -~ au lieu de a dans l'égalité

Or, d'après les formules de M. Hermite, D'un autre côté, on a

"{i 4-m) ne -j- bi[d -^ ne]

nlî -hw

^ . ^^ na-i- (à{b -j-na) n -+-

en faisant et, par suite,

donc

ce qui montre que J'équation

admet la racine p = ^ ^^^, et par conséquent coïncide avec l'équation F{u, v) = o.

25. Nous allons chercher ce que deviennent les racines de l'équation modulaire quand on y fait w = i . Posons

co = ,

et par suite

En posant on sait que