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rfcT c(«' — i6t(o') -+- cln"<a'

a-k-bxs «(«'— i6f»') + è«"w'

Déterminons a, b, c, d par les conditions

iQat = ^/i", ad — bc = l'y

en désignant par p le plus grand commun diviseur de n" et t, il faut, puisque a et b sont premiers entre eux,

ap = n", bp = i6tf et il vient

c ■+- drs en' H- put' c p* .

a H- OCT a« an

D'ailleurs on a ce qui donne ou bien

•^b^T677 =u nâ + ;7

Ainsi, en supposant ?/ = i, la racine considérée de l'équation modulaire devient (- ) (-] ; p représente le plus grand commun diviseur

de 7z" et t\ et ce résultat est encore vrai lorsque f = o, à la condition de supposer p — if .

On voit par là que, pour u = \, toutes les racines sont égales à 4- 1 ou à — I, et le nombre des valeurs de chaque espèce est une fonction numérique qui dépend de tz, facile à définir. Par exemple, pour la transformation du neuvième ordre, l'équation modulaire est du douzième degré, et pour m = i il y a dix racines égales à -h i et deux égales à — i.

En général, suivant que le nombre des racines de chaque espèce est pair ou impair, le dernier terme de l'équation modulaire est + iC ou — m", V étant son degré et v^ le premier terme.

26. L'application des remarques précédentes réduit beaucoup le nombre des coefficients nécessaires à calculer pour la formation de l'équation modulaire. Ainsi, l'équation restant la même quand on

change w en p et (^ en ( - ) w, les coefficients de vJ^v^ et iiPv"^ sont, ou

égaux et de même signe, ou égaux et de signes contraires, suivant les

cas. Les circonstances qui se présentent dépendent du signe de ( - j

et de celui du dernier terme.

De même, le changement de u en - et de i^ en - laissant l'équation

invariable, les coef-ficients de u"^vP et de w''""'^'''"'' sont égaux et de même signe, on égaux et de signes contraires, suivant que le dernier terme est + iC ou — ii* .

Enfin, en faisant m=:i, nous obtenons la somme des coefficienls de chacun des polynômes en u qui multiplient les diverses puissances de P dans l'équation modulaire.

Voici une autre remarque qui donne immédiatement les valeurs de plusieurs coefficients. Les racines de l'équation modulaire se partagent en groupes qui correspondent aux diverses décompositions de n en un produit de deux facteurs. Soit

n = n'îi"

l'une d'elles; les racines correspondantes sont données par la formule

V z= - 9— w+^r \Ji j ' \n n

Si n' et /ï"sont premiers entre eux, il y en a ?i" qui sont obtenues en prenant pour t les nombres

mais, si n' et n" ont des facteurs premiers communs «, ^,...,on ne doit prendre pour t que les

entiers inférieurs à n" non divisibles par a, è,..., et, par suite, le groupe considéré contient n" (i j ( ^ ~" â ) " ' racines.

Ces valeurs de if sont, dans le voisinage de w = o, développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de ii; et, en se bornant au premier terme, il est facile de voir que

n" — n' 21 nC n'

n ] aijrf

Les racines de l'unité e "" qui figurent ici sont celles de l'équation J- 9

binôme x"'' — i = o, si «' et lï' sont premiers entre eux; sinon elles appartiennent à l'équation

Nous désignerons leur nombre par p, en sorte que

p:=.ri' ou p = n:'[x~'-^ (l-^

Cela posé, formons le tableau de toutes les décompositions de n en un produit de deux facteurs

les nombres

I, /z'j, TÙ^ ...^ n

allant en croissant, et par suite

allant en décroissant. A chacune d'elles correspondent des racines en nombre égal à

«> Pm P2, ..-, I»

dont les degrés par rapport à u sont respectivement pour chacun de ces groupes

- ' ->/ ' ff ' • • • J - » n n^ n^ i

et vont en croissant.

Considérons maintenant dans l'équation modulaire supposée ordonnée les termes de rang

i^l n'y a qu'à se rappeler les relations qui existent entre les coefficients d'une équation et ses racines pour énoncer les résultats suivants :

1° Le produit des premiers termes des n racines de degré - donne

le terme de degré le moins élevé en u et qui ne peut se réduire avec

aucun autre dans le coefficient de v^""^) ce terme est — 2 ^ . u.

2° En multipliant 2. ^ ,u par les premiers termes des/?! racines de

degré —'> on obtient le terme de degré le moins élevé en u^ et qui ne

peut se réduire avec aucun autre dans le coefficient de p''~"~Pt. Ce ferme €st au signe près

3** Ce nouveau produit, multiplié par les premiers termes des p^ ra-

cines de degré -^1 donne de même le terme de degré le moins élevé

dans le coefficient de v*-^-p-Pi. On trouve ainsi, abstraction faite du signe,

1 ^ ^ "i ^ "i II "l "i .

La loi de formation de ces termes est suffisamment en évidence. Quant au signe qu'on doit leur donner, il ne faut qu'un peu d'altention pour le reconnaître dans cbaque cas particulier. Remarquons encore que les coefficients dont nous venons de trouver la valeur sont tous des puissances de 2. En supposant n premier, on a v = 11 -h i , et Ton voit que le coefficient de m* dans l'équation modulaire est

— 2 2 ; c'est une des observations faites par Sohnke dans son Mémoire.

27. On peut aller un peu plus loin et déterminer quelques-uns des coefficients intermédiaires. Considérons, pour fixer les idées, les /^o ra-

cines de degré -i réduites à leurs premiers termes; elles sont données

par la formule

/ \ ff un

Divisons toutes les racines de l'équation modulaire par ««*, eu posant

( 6o ) la nouvelle équation a « + /?, racines infinies, pg •+- p,, -+-...+ i racines nulles, et enfin ^2 racines comprises dans l'expression

Supprimons dans tous les termes de cette équation le facteur

Pi "i / N "2

et faisons dans le résultat w = o; les n -h pf premiers coeffîcienis sont nuls, il en est de même pour les ^3 + p^ -t-...-|- i derniers; et, en laissant de côté les racines nulles, il reste une équation de degré pa f"" <'o> dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de ç^o 6st donné, et dont les racines sont connues a priori: ce sont celles de l'équation

multipliées par le facteur constant ( — 12 '' . La comparaison des

deux polynômes fait connaître les valeurs de quelques-uns des coefficients intermédiaires de l'équation modulaire.

L'application des remarques précédentes ne donne pas, sauf les cas les plus simples, tous les coefficients demandés. On pourra déterminer ceux qui restent encore inconnus par l'un des deux procédés développés par Sohnke dans le Mémoire déjà cité. Nous ne nous étendrons pas sur ce calcul, qui ne nous fournirait aucun détail nouveau à ajouter.

28. Nous donnons ici l'équation modulaire pour la transformation du neuvième ordre. Elle est du douzième degré; les coefficients de u'"i>P, uf{^"\ u*^~"^v*^~'P, u''^~Pç'*'^~"^ soui é^RUK'y on peut donc l'écrire

(6. ) SOUS la forme suivante :

i^'''-h uv' ' [a 4- bu"") -f- wV"(rt, + b^ u^) + ii^v^{a^ 4- bu'') + rïg /^ V«

-f- ttV(/^, + (7, w*) 4- u'v(b 4- rzzf^) 4- fi'^= o.

Etj faisant w = i, il y a dix racines égales à 4- 1 et deux égales à — I, en sorte que le polynôme précédent devient

((;2 l)2((;l)8==p«2 g (;* ' + aôç'' ° - /jO t^' 4- I 5 P« 4" 48p'^- 84(^«