p'^(8 4-5««) -h8ii'v{~ 2 + ««)4-?/*-=o

On peut l'écrire de la manière suivante :

Les racines de cette équation correspondent aux diverses décom-

(6.) positions de 9 en deux facteurs. Faisons

nous avons < = o, et, d'après ce qui a été dit au § 11 : nous pouvons

poser

.. - ^^ donc

(; = (p (q w) = w^ TT sin co am - — - ;

nous avons < = o, i, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8 : il est permis de poser

i6fK -F /K'

îr= :

donc

(^ = (p ( — I ) — " 11 sincoam l\s -,

nous avons if = 1,2; nous pouvons poser

zs =. )

et par suite

u = — 9 (ooH — Q-)— i^®Tl sincoam 4'^

Une étude plus complète des équations modulaires serait très-intéressante; mais elle nous entraînerait en dehors des limites de ce travail. Rappelons seulement que M. Rronecker a été amené par cette considération aux bea'ux théorèmes qu'il a énoncés sur les sommes de nombres de classes quadratiques, dont les déterminants suivent une certaine loi.

29. Dans l'étude de l'équation du multiplicateur qui nous reste à faire, nous nous servirons d'une notation un peu différente de celle que nous avons employée jusqu'ici. On sait que les quatre fonctions d définies en commençant sont comprises dans une formule unique

en posant

et de plus

il vient

i ' îT Tk (2n + /x) 4- -^ (2«+,<«.)'

on conclut de là immédiatement, en comparant aux fonctions 6 dont les valeurs ont été données au § 1,

Nous avons posé (§ 9)

ZS = j

et par suite

CI m -\- m' w K ~ Ti

il résulte de là (§ 19) que les racines de l'équation du multiplicateur sont représentées parla formule

ni w

La forme actuelle a l'avantage de mettre plus immédiatement en évidence la déj^endance qui existe entre M et la variable w dont le module k est fonction. Nous allons nous en servir pour reconnaître comment se modifient les racines de l'équation du multiplicateur, quand

on y change A" en 75 ou en k'. Nous ferons usage de la formule suivante, due à M. Hermite (*). Soient a, b, c, d des entiers tels que ad — bc = î,b étant positif, comme il est permis de le supposer^

faisons

fif^ — aiJ. -h bv ■+■ ab,

Vf, = c/jt. H- d^v + cd^ on a

B^,-,[[a-\-btù)x,<à]e =^^V:,^\^^-^-^t

a étant une constante dont voici la valeur :