IH- W ) • I
AJL ^, / //î H- (/« -f- m') w
or la formule que nous venons de rappeler nous donne
ôi.o -r,
6o.o[(«+ ") -^ï «] ' \ iH-w,
1+ co
Faisons
lO
(66) On voit que la valeur de M se transforme dans la suivante :
qui est une de celles de —5 comme !e montrent les formules du § 19.
II n'est pas inutile de s'assurer que l'expression précédente comprend
toutes les valeurs de — qui correspondent aux T(«) transformations
distinctes de degré «. A cet effet, rappelons une observation faite au § 13. En regardant comme équivalents deux entiers qui, divisés par «, donnent le même reste, il y a T(/i).$(/z) couples distincts formés de deux nombres m, m', n'admettant aucun facteur commun qui divise «; ils se partagent également en T («) groupes, dont chacun en contient 0 (/z), tous ceux d'un même groujse correspondant à la même transformation. De plus, tous les couples d'un même groupe peuvent se déduire de l'un d'eux, en multipliant les deux termes de ctlui-ci par tous les entiers inférieurs à « et premiers avec n. D'après cela, imaginons formé le tableau de tous les couples distincts (/«, m'), en ayant soin de réunir ceux qui appartiennent à un même groupe; puis remplaçons chaque couple [m^m') par le couple (m, m + m') : il est clair que nous reproduisons ainsi tous les couples du premier tableau, sauf l'ordre; et, en outre, ceux qui proviennent d'un même groupe du premier tableau appartiennent eux-mêmes à un même groupe ou, en d'autres termes, correspondent à la même transformalion, puisque tous peuvent se déduire de l'un d'eux en multipliant les deux termes de celui-ci par les entiers inférieurs à w et premiers avec 72 (*). Ainsi l'expression précédente comprend, comme nous l'a-
( * ) La remarque précédente peut être généralisée de la manière suivante : soient =<> P) 75 ^ quatre entiers tels que a.B — ^7 soit premier avec n; en remplaçant chaque
vions annoncé, toutes les valeurs distinctes de -r— ; l'équation du multiplicateur jouit donc de la propriété suivante :
I. En changeant k en - dans celte équation j celle qui en résulte a pour racines les diverses valeurs de —•
31. Nous remplaçons maintenant dans l'équation du multiplicateur k par le module complémentaire Je ^ ce qui se fait en changeant w
en : la valeur de M devient
LA / mtà — m' I \
= "~' .- / m ta — m' I \
^ = 1 Go,, I 2 S ,
Or, en faisant et par suite
à = e \ f-o=y» Vo = — ft, dans la formule de M. Hermite, rappelée plus haut, on trouve
couple (/n, m') par (aw+ ^w', y m -h Sm'), on reproduit tous les couples distincts, et de plus tous ceux qui proviennent d'un même groupe appartiennent eux-mêmes à un même groupe.
lO.
et, en posant x =^ 2S '-^ — —i puis substituant dans l'expression qui précède, on reconnaît qu'elle est égale à l'une des valeurs de
On conclut de là le théorème suivant :
TI. Si Von change k en k' dans l'équation du multiplicateur, les racines demeurent les mêmes ou ne font que changer de signe, suivant que le nombre n est de la forme l\p + i ou l\p -\-?>.
Ce résultat avait déjà été énoncé par Jacobi (*).
32, Nous allons encore établir la proposition suivante :
JOéquation du multiplicateur est irréductible.
A cet effet observons que, parmi les valeurs du multiplicateur^, se trouve la suivante ;
désignons-la, pour abréger, par M^ . Nous allons montrer que toute équation
dont les coefficients sont rationnels par rapport à k^ et qui est vérifiée par M ~ M^ , l'est aussi en remplaçant M par l'une quelconque des valeurs du multiplicateur, et par conséquent F(X;^, M) contient comme diviseur le premier membre de l'équation du multiplicateur, qui luimême est indécomposable en facteurs rationnels.
Pour justifier notre assertion, remarquons que nous avons, par hy-
Noca/undamcnta , p. 58.
( 69 ) pothèse,
remplaçons dans cette égalité w par 7—5 <?, é, c, hélant des entiers,
tels que
ad — hc =^ \,
a^ I, b^EEOf c^o, d^i (mod. 2\
On sait que
'-^ 7- i = ? (wjj
' \« -i- 6w/ T V ;' et par suite l'équation F(^^, M) = o est vérifiée par toutes les valeurs
que peut prendre M„, quand on écrit dans cette expression j-
à la place de w. Or, après cette substitution, elle devient
TT ^''\~^' a + hJ JLr / 2S c -4- r/&)\
-=1 ^«••lT'«-+-è«)
Appliquons la formule de M. Hermite : a et f/ étant impairs, ^ et c pairs, on a
^0 = P'i Vo — V,
et par suite
^ — Y {acij} -+ bd'j^ ■+- -labd-j)
( 1jL^\
-i^acO... l^,
c -4- cZ
Faisant jc = — et substituant dans l'expression qui précède les va-
( 70) leurs données par ces formules, on trouve
a -r- Ùm
rt -h ^ w
li n'y a qu'à comparer ce résultat à l'équation (i) du § 29 pour reconnaître que nous avons effectivement toutes les valeurs du multiplicateur. Toutefois il est nécessaire d'ajouter que, dans la formule à laquelle nous nous reportons, il est permis de supposer m et nï premiers entre eux, m impair et m' pair. En effet, m et m' sont liés aux nombres n', n",t qui définissent la transformation par les équations (i) du §13
m = (Âîi" -+- \6tix'.
On a vu que p.' est assujetti à la seule condition d'être premier avec n'\ et fj. doit être choisi de telle sorte que m et n' n'aient aucun diviseur commun; d'après cela on sera sûr que m et m' sont premiers entre eux en prenant par exemple /jl' = 2, et en remplaçant m par m -+- n, si la valeur trouvée pour m est paire. L'expression trouvée renferme donc toutes les valeurs du multiplicateur, et par conséquent, de ce fait seul que l'équation F(P,M) — o admet la racine M^, on peut conclure qu'elle a aussi toutes les autres racines de l'équation dumultiplicateur, dont l'irréductibilité se trouve ainsi mise en évidence.
La proposition que nous venons d'établir avait déjà été démontrée par M. Konigsberger, dans le Mémoire cité plus haut, pour le cas de n sans diviseurs carrés. Il s'appuie, comme nous l'avons fait, sur la formule de M. Hermite, mais la forme sous laquelle il prend les valeurs du multiplicateur diffère de celle qui nous a servi.
33. Nous allons nous occuper maintenant de la formation de l'équation du multiplicateur. Remarquons d'abord que M ne peut être nul ou infini pour aucune valeur finie de^; si donc nous supposons le coefficient de la plus haute puissance de M égal à l'unité, tous les autres coefficients qui sont rationnels par rapport à P doivent être des polynômes entiers, et le dernier terme se réduit à une constante. 11 est très-facile de trouver les valeurs de M quand on suppose A: = o; on a en effet (§19)
OU, en faisant usage de la nouvelle notation,
M =(-1)"^ ' 9o,o>'o,to)
on aura ^ — o en faisant tendre q vers zéro, et l'on trouve ainsi
Nous voyons donc que, pour A: = o, les racines de l'équation du multiplicateur sont les inverses des diviseurs de «, chacun de ces
inverses — étant pris avec le signe -t- ou avec le signe — , suivant
que le diviseur tï' associé à ri est de la forme [\p -v- \ ou 4 p -f- 3; et,
quant au degré de multiplicité de la racine (— i) ^ — i il est égal à
rt, h^... désignant les facteurs premiers communs à ri et ri' . On con-
(72) clul immédiatement de cette règle la valeur du polynôme premier membre de l'équation du multiplicateur, quand on y fait ^ = o : en particulier, si /zest premier, il se réduit à
(M- if^M- ^"j ou (M-l-i)" (m- ^^,
suivant que n est de la forme 4/? -f- i ou 4/? + 3. Il est clair que le dernier terme de l'équation cherchée, étant indépendant de A, est égal
au produit de ces racines (— i) ^ -y
34. Nous avons vu (§ 30) qu'en remplaçant Ti par k' les racines de l'équation du multiplicateur restent les mêmes, ou ne font que changer de signe, suivant que n est de la forme [\p -\-\ ou l\p -\- 3. Les coefficients des diverses puissances de M, qui sont des polynômes entiers <p(^^), gardent donc la même valeur ou bien ne font que changer de signe. Dans le premier cas, on a
et dans le second cas
^(P) rzr Ç,(/f'2) -^ ^^^•?~ '^^"^'^ = [k'-k")'i^{k''k").
^[k'^k'^) étant un polynôme entier en k'^k"^» On conclut de là que, si n est de la forme 4/? + i> tous les coefficients sont des polynômes entiers en k'k'-^ et, si n est de la forme l\p + 3, les coefficients des puissances paires de M sont des polynômes entiers en Pk'"^, et ceux des puissances impaires sont des produits de polynômes de celte sorte
par k"^ — k'-. Il est un peu plus simple de prendre — pour inconnue. Faisons
et désignons pary^(x) ce que devient le polynôme premier membre de l'équation pour ^ = o. Ainsi, n étant premier, on a
f[oc) = {x — \)'\x — n) ou f{x) = [x-^\Y{x — n),
suivant que n est de la forme 4/? + i ou 4/> + 3.
(73) Il résulte des observations qui précèdent que, le degrés de la transformalion étant un nombre impair quelconque de la forme l\p -\- i^ l'équation peut s'écrire
J{x) 4- k'k'-x¥ikH'\ x) = o,
F(P/<;'^, x) étant un polynôme en k'^h''^ et x, dont les coefficients sont encore inconnus, et qui est au plus du degré v — 2 par rapport à x^ V désignant le nombre des transformations de degré n.
Si n est de la forme l\p + 3, séparons dans l'équation les termes qui contiennent k"^ — k!^ en facteur, et qui sont tous de degré impair par rapport à jr, de ceux de degré pair et qui ne sont pas multipliés par P — k'- ; elle pourra s'écrire
+ (F - k^)k''k'^x Y, [k''k'\ x^) = o. Or
et comme, pour ^ = o, le premier membre de l'équation se réduit
kf\x), on a
et par suite ^
f(- x) = -^x^) -hx^tix"").
L'équation cherchée peut donc se mettre sous la forme
^'/(^) ■+■ ^Vi- ^) + k-k'^x^Fik^'k'^x'')
-{-{k^-k'^)k^k"'xY,{kn'\x') = o,
¥(k^k'-^ x^), F,(P^-, x^) étant des polynômes dont les coefficients sont encore inconnus.
34. Nous allons examiner successivement les deux cas dont nous venons de parler. Soit, en premier lien, n^i (mod. 4); l'équation se met sous la forme
