Les formules précédentes donneraient la fonction

exprimée à l'aide de sinamz; les trois nombres n',n",t qui déterminent la transformation particulière du degré n que l'on considère y seraient immédiatement en évidence; mais la valeur ainsi obtenue pour^ n'a pas la forme si élégante que lui donne Jacobi dans les Nova fundamenta. C'est celte forme à laquelle nous nous proposons de revenir. Posons

wK H- w'/K'

m et m' étant deux nombres entiers n'ayant aucun facteur commun qui divise n, et qu'il est permis de supposer positifs et inférieurs à n. Dans les formules données plus haut, l'expression

est susceptible de prendre n — i valeurs deux à deux égales et de signes contraires, abstraction faite de la valeur obtenue en faisant p = o, fj' = o. Nous allons montrer que, jï, n'\ t étant donnés, il est possible de trouver des systèmes de deux nombres 77i, m\ tels que ces n — I valeurs coïncident avec

± [\zs, ± 8sr, ±i2t7, ..., ±4— — "^i

à des multiples près de aR et de 2.i¥J . Cette possibilité exige que, pour chaque couple/?, p' , on puisse déterminer trois nombres entiers

.9, (7, a\ tels que

l\sv; -I- 2jR -f- la' iK' = -ipA -h -ij/ i K'.

Remplaçons ts, A, /A' par leurs valeurs et égalons, comme il est

nécessaire, les coefficients de K et de /K' dans les deux membres, il vient, après avoir multiplié par« et divisé par 2,

2sm -h ne ~ pu" -\- \(jfp\ 7. sut 4- uq' = ////'.

L'une des valeurs de s devant être l'unité, la dernière équation exige que m' soit divisible par n' . Posons

///= a'//, il vient

2 s uJ 4- //" a' = // ,

et, comme l'unité est aussi l'une des valeurs de //, les nombres p.' et 7i" doivent être premiers entre eux. Il suit de là que n' est le plus grand commun diviseur de m' et n. On peut supposer m' positif et inférieur k n; on pourra donc prendre pour ^j/ tous les entiers inférieurs k?i" et premiers avec n", et effectivement on verra plus loin que toutes les valeurs de m' ainsi formées sont acceptables. En remplaçant/?' par sa valeur

il vient

isni -i- na = p/t"-i- iG/(2i;jt,' -4- n'a') ou bien

2 s ( 'Il — \6i p.') -\- ii(j — 16/ II" a' = f>n";

donc m — 16/p,' doit être divisible par /i", et, par suite, nous posons

/;/ — I G / [J.' = Il p. .

Nous avons donc

ni' = a'/i'.

tu = an"-\- iGiu.\

et les deux équations