SIL -^ ii'g ~ i^la' — p
En déterminant les nombres entiers s^ et cr'^, par la condition
( '9 ) ce qui est possible, puisque a^j,' et 7Ï' sont premiers entre eux, nous
avons
cr'= <,//— 2a'T,
T étant un entier quelconque; il vient alors
2iJ.{so[)' -h II"') + 7Ïa — ]V>ï[7^j/ - 9.1/-.) — p ou bien
2(//"[x + iG/a'jT -h n'a = p — p'[i-LS^^ — '^-f^., •
Cette équation exige que !e coefficient de 2t,
Ti"i). + \6tuJ= m,
soit premier avec n' . En résumé, et pour ce qui concerne Ifs nombres /// et m'y il est nécessaire de poser
/7i 1:= lj.n"-+- iG/u',
p/ étant premier avec n" et jx devant être tel que m soit premier avec //. .admettons en ce moment, pour ne pas interrompre les calculs précédents, qu'il est possible de satisfaire à ces conditions. Nous déterminerons les entiers Tq et Cq de manière à vérifier l'équation
et nous aurons
/ désignant un nombre entier quelconque. Remplaçant rpar sa valctn-, d vient
f;' ^ cr'„// — '^ w/to [/^ — //(2 /j.5„ — 1 6/(7'„)] — s.v/'y.
La valeur trouvée pour s montre :
i" A cbaqiie couple /^ // correspond pcnir s un des nombres
2° On ne peut avoir ^ = o qu'en faisant p = o^ p' = o' car, si s est nul, Sop' est divisible par }i", et, comme l'égalité
exige que ^o soit premier avec n", il faut p'= o. On a donc
roP -+- n'j = o, et, Tq étant premier avec n', il vient ^ = o.
S** Des couples distincts/?, //, pt^p'i donnent des valeurs distinctes de S', car, si l'on parvenait à la même valeur de s, on aurait, en retranchant,
o = ^0 {p'- Pi) + «"to [p — Pi~ (p'- /?'i) (2/AJo - ï6<(7'„)J -4- n(j - /,)
et, par suite,
On peut encore remarquer que la valeur de s peut se mettre sous la forme suivante :
s = PXqIi"+ p'{n'(7oSo -h 16/To) + ///. 10. Il est maintenant bien facile de transformer le second membre
H JJ ■ JJ ${z-^ 2pA-+- 2p'iA')
de l'équation (i) du § 6. En laissant de côté le facteur ^(2), les autres s'accouplent deux à deux de la manière suivante :
d (z-h 2pA + 2p'iA')d{z— 2/7 A — 2/;'/A'),
et comme, d'après ce qui vient d'être établi, nous pouvons poser
2pA-h 2p'iA' = 4-"fw+ 2crR -f- 2!7'/K',
le produit précédent est égal à
0{z -+■ l[Sv> -h 2(jK -f- 2<j'iK' }6{z — l\szs — ao-K — 2<7' iK') ;
or
0(^z - 45C7 - 2crR - 2cr'zR') = {-lYq'''" e^ ^ Q {z - 4^57;,
le produit considéré peut donc être remplacé par
C5(s-h 45ty)ô(z — 4^sy), C désignant une constante. Nous obtenons donc
(l) 0 (Z, A, A') = A 5 (Z) PI 5 (Z + 4 ^ ^) ^ (2- - 4«J 37 ),
A étant une constante.
Changeons, dans cette équation, z en z + iR'*, nous avons \u (§ 7; que le premier membre devenait
(- i)~ /e""^ e~"^5,(z, A, A'); nous avons d'ailleurs
iitat t'îr (r -l- 4'S'ï)
le second membre devient donc
4 = 1 nous avons donc
(•2) 5.(z,A,A'] = (-i) ' Aô,(z) JJ 0,(z-h 4^57)0, (z-4^5y).
Mettons encore z -4- R à la place de z dans les formules (i) et (2), et il
vient
(3) ^3(2, A, A') = A53 (z) n 5, (z + 4^^-) 5s (z - ksiz).
11. Avant d'aller plus loin, il y a un point important auquel est subordonné le calcul précédent, et sur lequel il est nécessaire de revenir. Nous avons posé
I m = [j.n" -\- i6fti\
et nous avons admis que prenant fx' premier avec «", il est possible de déterminer /x, de telle sorte que m soit premier avec n'. En ce moment nous précisons davantage, et voici ce que nous allons établir.
A chaque combinaison ;/', 7i", t correspondent 0(«) systèmes de deux nombres m, m' fournis par les équations (i), qui sont distincts suivant le module w, n'ayant aucun diviseur commun avec w, et de plus il n'y en a pas davantage. Nous désignons par 0 [n) le nombre des entiers inférieurs à « et premiers avec n. Remarquons d'abord que, m et m' étant donnés par les équations (i), et p/ étant premier avec ii" , comme on doit le supposer, pour que m, m\ n n'aient aucun diviseur commun, il faut et il suffit que m et n' soient premiers entre eux. Cette condition est évidemment nécessaire; elle est suffisante. Eu effet, m et îi' étant premiers entre eux, soit n un facteur premier commun à m, m\ TJ, le nombre tt, ne divisant pas n' et divisant néanmoins p.V/ et n"n', serait facteur de [x' et de n'\ ce qui est impossible, puisque (i' est pris premier avec n".
Établissons maintenant que ^[n) est le nombre des systèmes distincts ni, m'. Ce résultat est évident dans les deux cas suivants :
1° Si n' = 72, n" = I et, par suite, ^ = o. On doit prendre /jl' = o, il vient m = p., et p, est l'un quelconque des entiers inférieurs à n et jîremiers avec 7i.
■2^ Si 7i' = \ , n" = n. On doit prendre pour p/ les entiers inférieurs à n et premiers avec /z; on a
On déterminera pt, par la condition que m soit positif et moindre que n. Donc encore ^[n) systèmes.
La démonstration est encore f.icile, si n' et n" contiennent l'un et l'autre tous les facteurs premiers de n. Soit
et posons
Nous prendrons pour il' tous les nombres premiers avec n" qui lui sont inférieurs, et, en remarquant que i6//jl' est premier avec n\ nous voyons que |jl peut recevoir toutes les valeurs
Quand m dépassera «, il suffira d'en retrancher le plus grand multiple de 71 qu'il contient; tous les systèmes ainsi obtenus sont distincts, et il n'y en a pas d'autres. Leur nombre est
,/'$(//'') = ri«-*'-V>P-P'-«6'T^-^'-V..(^-i)(/>—i)(c—i)rt=''^P7-^\..=(î)7;).
Supposons maintenant ;/, n" premiers entre eux : la démonstration indiquera la marche à suivre dans le cas général où n\ n", sans être premiers entre eux, ne contiennent pas l'un et l'autre tous les facteurs premiers de n. Nous prenons pour p/ tojis les entiers inférieurs à n" et premiers avec n" -, leur nombre est 0(«"), et pour chacun d'eux nous divisons par n' les n! nombres
i6/p/, /2"-+-i6^u/, u//'+i6/p/, ..., (//'— i)/i"-MG//j/.
Les restes sont tous différents, puisque n' et n" sont premiers entre eux ; ce sont donc, sauf l'ordre,
il y en a ^(n') premiers avec //, et, par conséquent, la progression arithmétique qui précède comprend ^(n') nombres premiers avec ii' . Ce sont autant de valeurs acceptables pour m, et de plus il n'y en a pas d'autres que l'on puisse associer à p,'. Le nombre des systèmes distincts est donc
or
$ (Ai') 0(/i") =<!>(«),
puisque «'et 7^" sont premiers entre eux.
Considérons enfin le cas où n' et «", sans être premiers" en Ire eux, ne contiennent pas l'un et l'autre tous les facteurs premiers de n. Soient rt, è, ... les facteurs premiers communs à w' et «", v' le produit de ceux qui sont dans 7^' sans appartenir à «"; et de même v" le produit de ceux de «" qui ne se trouvent pas dans «' : nous avons
n = ««' b^' . . . v' , 71" = rj«-'='' ^?-" . . . v".
Nous pouvons toujours prendre pour p,' tous les entiers inférieurs à n" et premiers avec lui; leur nombre est
Quelles valeurs de 772 doit-on associer à chacun de ces nombres? Observons d'abord que, si
m — n" [j, + ifitix'
jouit de la propriété voulue d'être premier avec 77', il en est de même de tous les nombres
w. = 77" (p. + hv') -h 16//JL',
h étant un entier quelconque. Cela résuite de ce que hn"v' contient tous les facteurs premiers de n'. Il suffit donc de trouver les entiers /j, positifs et moindres que v' satisfaisant à la question; chaque nombre y. de cette sorte fournit «*' b^' . . . solutions renfermées dans la progression suivante :
u., [x + v', fA -h 2v', . . . , p. H- [a''' b<^' . . — i) v' ;
car toutes donnent pour 777 des nombres qui, pris suivant le module 72, sont distincts.
Cela posé, il es! facile de montrer que ^(v') est le nombre des valeurs de ^ inférieures à v' répondant à la question. Pour le voir, divisons par v' les nombres de la suite
16 /p/, n" + iGltj.', 2n" -\- iGtii', ..., (v'— i) 7/" -h 16/p.'.
Comme v' et w" sont premiers entre eux, les restes sont tous distincis : ce sont donc les nombres
abstraction faite de l'ordre. Il y en a $(v') premiers avec v'; les dividendes correspondants sont premiers avec v'; ils le sont aussi avec n\ et cela résulte de ce que chacun d'eux se compose de deux parties, l'une n" ^ divisible par les facteurs premiers a, b,... communs à n' et 7f", l'autre i6^|j,' n'admettant aucun de c^s facteurs.
Il y a donc, pour ini nombre p.',0(v') valeurs de [l inférieures à v' répondant à la question, et par suite il y en a en tout$(v')a°'7yf*'.... Le nombre des systèmes /w, m! distincts est donc
4>;«")$(v')rt*'z>^'... = <i)(/2),
ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
12. Il est important de remarquer que chaque système de deux nombres m, m' n'ayant pas de diviseur commun avec n correspond à une combinaison bien déterminée /^', n", t : n' est le plus grand commun diviseur entre m' et n; on pose
et t est déterminé par l'équation
ce qui est possible, puisque n" et /x' sont premiers entre eux, et de plus toutes les valeurs de t ainsi trouvées, prises suivant le module n", sont équivalentes. Il est à peine besoin d'ajouter que l'addition de multiples de n à /n et m' ne modifie pas la combinaison correspondante
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait ramené par l'addition de multiples convenables de n les nombres m et m' à être positifs et moindres que n, et réunissons tous les systèmes m, m' correspondant aux diverses combinaisons 7î' , ti" , i . D'après l'observation précédente, nous aurons tous les systèmes possibles de deux nombres m, m' pris j. 5
( 26 ) dans la suite
de telle sorte qu'ils n'aient aucun diviseur commun avec ti. Le nombre de ces systèmes est donc
Or c'est ce qu'il est très-facile de trouver par une détermination directe. Imaginons formé le tableau de tous les systèmes possibles de deux nombres m, m' pris dans la suite
o, I, 2, ..., Jl—l]
Ti^ est le nombre de ces systèmes. Nous allons supprimer tous ceux dontles deux termes contiennent l'un au moins des facteurs premiers <7, h^c, ... de w; il s'agit de compter le nombre des restants. Supprimons d'abord tous les systèmes dont les deux termes sont divisibles para;
leur nombre est — > il en reste
Cela posé, avant de supprimer les systèmes dont les deux termes sont
divisibles par b, formons-en le tableau; leur nombre est —, et de ces
systèmes nous ne devons supprimer que ceux dont les deux termes ne sont pas divisibles par a; or le nombre de ces derniers est, d'après l'explication précédente,
Celte suppression faite, il reste
systèmes dont les deux termes ne sont pas à la fois divisibles soit par a, soit par b. Supprimons maintenant tous les systèmes dont les deux trrmes sont à la fois divisibles par c sans l'être à la fois ni pnr a, ni par b. Nous trouvons leur nombre en formant d'abord le tableau des
- } systèmes dont les deux termes sont en même temps divisibles par c,
( 27 } et comptant combien parmi eux il y en a qui ne sont divisibles ni para, ni par b. Or, d'après ce qui vient d'être dit, le nombre de ces derniers est
Suppression faite de ces systèmes, il en reste
dont les deux termes ne sont pas en même temps divisibles par a, b ou c. Il est clair qu'en continuant ainsi, après avoir exclu toutes les combinaisons m, m' dont les deux termes ont un diviseur commun avec 7z, il en reste
'-~){'-iM>-'
ce qui est le résultat annoncé.
13. Revenons à la théorie de la transformation des fonctions elliptiques. Nous avons posé
mK + m' iJ\'
zs = :
en prenant successivement pour m, m' tous les systèmes dont nous venons de parler, t? reçoit T[n)<^[n) valeurs. Elles se partagent également en T[n) groupes, dont chacun en contient $(w), et, d'après ce qui précède, toutes celles d'un même groupe correspondent à une même combinaison n', n", t et, par conséquent, définissent la même transformation. Cette observation nous permettra de démontrer l'existence de l'équation modulaire et de l'équation du multiplicateur pour un nombre impair quelconque tî, avec ou sans diviseur carré, de la même manière que lorsque ce nombre est premier.
Il n'est pas inutile de remarquer que, connaissant une valeur de ts répondant à une combinaison «', n'\ t, toutes les autres s'en déduisent en la multipliant successivement par tous les entiers inférieurs à n et premiers avec n; car, en faisant cette opération sur les deux termes wi, m' d'un système, nous obtenons <^[n) systèmes distincts. Pour tous, le
plus grand commun diviseur Ji' de m' et de n est le même. Le nombre ii" ne change donc pas, et les deux équations (i) du § 11,
font voir que t reste le même ; les nombres \l et p,' seids sont multipliés successivement par les différents facteurs employés.
