Les formules du § 10 donnent de suite

6,(3, A, A'] Ô,(z] j-i- ^.,[z -\- [\^srs]^-i[z — ^sxs)

63(3, A, A') ~ ^i[z] 11 9:,(2 + 4^^)63(2 — 4*ct)' 5= 1

—lui e,(z. A, A^) , __ '^-^ 0,(z) -p.- 9,(2+ 4^ct) 0|(2 — 4^«g]

e (z, A, A') ~ '^ '^ e(z) 11 e[z-i-4jo) e(z — 4*0)

Nous avons (§ 2)

,jj- e,(o,A,A';

nous en concluons

ou bien

Nous avons représenté par ^(w) la racine quatrième de k. Posons

Il z= ^'00) et faisons

, . ---1- ôj(4^o)

( ^9 ) La quantité v, ainsi définie, est, au signe près, égale à

bientôt nous déterminerons ce signe. On sait que

cosainz i ôjfz)

sincoamz — ^ = — -j-L;

donc

V = u" TT sincoam4«îw.

Il faut encore calculer la valeur de M; or (§ 2)

V^ e'.(o) e(o.A,A'), ~ v^ie',(o,A,A') e(o) '

la valeur de -rj — - — — {, écrite plus haut, donne

e', (o, A, A') . .~ir~ 9(0, A, A') j^ 0][^sm

ô', (o) "~ ^ '>' ô(o) 11 e»(4.vcT '

donc

ou bien

— j^ — sin'coam4^CT

M = (— l) Yl sin»ara4*a

15. Notre but n'étant point de reprendre ici la théorie de la transformation, nous nous dispensons de transcrire la valeur de y exprimée en fonction de sinamz; elle s'obtiendrait, du reste, immédiatement à l'aide des résultats précédents sous la forme même qui lui a été donnée par Jacobi. Laissant de côté ce calcul, nous avons à prouver ce fait

( 3o ) important que la valeur de i> définie plus haut ne dépend pas du système particulier m, m' que l'on peut faire correspondre à la combinaison n't n'\ t, mais seulement de ces trois derniers nombres. En d'autres termes, les $(«) systèmes 7W, m' associés à une même combinaison n'j n'\ t conduisent à la même valeur de v. On a

les valeurs de s forment le tableau suivant :

2«"-f-l, 2/j"-h2, 2«"-f 3,--., in" -\ V5 3«"— I

//«", hn"^i, hn"-hi, //n"-h 3 hn" -\^ ^,.-', [h + \)n"—\

En groupant les facteurs de v de la manière suivante : 1° Ceux qui correspondent à la première colonne verticale; 2° Ceux qui correspondent aux derniers nombres de la dernière ligne horizontale ;

3° Ceux qui correspondent aux autres nombres du tableau. On peut écrire

e,(4/i.//'cTl 11 V./n'-x .. \ 11 11

i> = li ■ ■ — ^ -^ ■ 1 — t — : / Il I I "LH-i ' / J.

Mais on a

khn"7T; = h ^ + //.4/Jt'/K',

en tenant compte de ce que

irc = l^ri \

et, à raison de la périodicité des quotients des fonctions 5, on peut supprimer le terme h.[\^iY^'^ il vient donc

Al /.4mR\ 11 /,?'-, 4/«K , \ 11 11 /,4///K , \ A = i 631/'='-^- 1 * = i ^n-^- -—' t-4-^cTJ /,=:o 5=j 0J//i-;-4-4^ar)

Le dernier facteur peut se décomposer dans les deux suivants :

/;=rO

CT A — 0 .î = ! 0.

dont le second peut se mettre sous la forme