I -f- qV-^ c
*) Crellcy l. 16, p. 102.
Les nombres m et n' sont premiers entre eux^ et par suite e "' est une racine primitive de l'équation binôme
.r''' — I = o ; donc
■1 inJii Tt 1 -J- «"' ( -y'—' I
et d'après cela on a
"Il -774^ -^''^''^)-^ ^ n ''^'
D'un autre côté,
ce que l'on peut reconnaître de plusieurs manières, par exemple en partant de l'identité
TT [ \ — IX cos — ;^ h X- ] =z \ -\- X -\~ a- -\- . . . -\- x''
divisant de part et d'autre par x ^ , prenant pour variable o: -\ — ,et égalant les termes constants dans les deux membres. Nous avons donc
'-~I~ôJ4^CT, ^, K'j
s^ = {^\r^{7i'^) n 77- — ir— -•
Or
OU, en tenant compte des valeurs de m et m' (§11),
' \ /in n j ' «'
( 34) La périodicité des fonctions d permet de supprimer le terme 4f-5^ -^i il vient donc .
Remarquons maintenant que
ntno) Il m z
Il i iz z K "
el faisons
nous aurons
ifif
r, , /i67iv /K'\ K ,,,]- ^ "-^^^ ""^ '
* ir ( — Y'j'~''^''"~~'i''-'^ 1'
xn
{'>J~i)n"-i-fi/x's'
Substituons cette valeur dans celle de t^, après quelques réductions faciles, il vient
't=; ' lï -+- ( 7^" « '''" ^ " 1 [' + (7""«)
'H- W" ^-J JI.1+ \7""aj J
Cela posé, qu'on se rappelle que p/ et w"sont premiers entre eux, ou en conclut que, j prenant les valeurs
I, 2, 3, ..., rt s les suivantes :
tout nombre pair non divisible par n" se trouve une fois, et uue fois seulement, sous l'une des formes
4a'.v, 2///'-+- 4p-'-^; 2Jn"—^u/s, abstraction faite de son signe.
De même, tout nombre impair non divisible par ti" se trouve une fois, et une fois seulement, sous l'une des formes
(a/ - \)n"-^ 4p.' j, {2j - i)n"— lias,
abstraction faite de son signe.
Parmi les exposants
ijn" — l\ix's, (ij — y)n" — l\u!s,
quelques-uns peuvent être négatifs ; on les représente respectivement par
7oi 72' •••' 72V— 21
7" h' • ■ ■ ' "ii^t'— n
et, Y étant l'un quelconque d'entre eux, on a
On pose
7o + 72 -+-• ■ •+ 72V-2 — 7i — 73 — • • • - 72v'-i — r ; il vient enfin
( 36 ) ce que l'on peut écrire
2 \ ( n" . ) l n' i6ir
Sans aller plus loin on conclut de là le nombre F; effectivement la valeur de v ne peut différer que par le signe de celle de (p(^ w -t- ^ jj
ce qui exige que l'exposant de </"" soit nul : (!onc
r- n'!!—^l '^--zl ^ ~ ^' 4 8 *
Nous avons ainsi
;7)?lz'''"^~ "^"
16. Nous venons de reconnaître qu'en prenant successivement pour zs les $(«) valeurs associées à une même combinaison «', az", ?, le produit
TT sincoam4.vt7 garde le même signe; il est intéressant d'étudier si cet autre produit
lTsinam4-y^,
dont le carré figure dans l'expression du multiplicateiîr, jouit de la même propriété : il est évident que son carré ne change pas. En est-il ainsi du produit lui-même? C'est ce que nous allons chercher. 11 revient au même de considérer la quantité
la suite du calcul montre qu'il est convenable d'y introduire le facteur
1 — qy'
Nous poserons donc
GroupoiH les facteurs, comme il a été fait plus haut, et, en même temps, tenons compte de la périodicité des quotients des fonctions 5, il vient
-"-?oY/.i^
Le dernier facteur se décompose dans les deux suivants :
n n / 4,;ai 7~T' n n ~jtwk tt:, ~^r
dont le second peut se mettre sous la forme
, o.|^(/* + i)i^^^ isuj 2 . ^'y'—> 4*^j
Il n rr" 7^'K ; 1 ^ n n t/t^wk 7~\'
ou encore
„',„", A i -=^ eY4.v^ + Ai^
n'- 1 s=zl
(38) On conclut de là
p = (~ 0 '' ''"ii^-s'o) Yi
^ n n ~T. TT^Kf'
Les deux nombres ni et //' sont premiers entre eux; les ^rmules du § 10 donnent donc
et par conséquent
On sait que
/ i7:z\ f ijzz
