HART

Le or

Soit

Cr Ch CR Cr D'ÉLATE EPP, En Cs à. C FD: I M À

la substitution (S) employée; nous avons

(GYho— (ab)2(@0 12 + (abh3(wv)i3 + (ab, (ouh, + (ab )a3(œU0)e3 + (ab, (our, + (abs, (œu)s,

et des formules analogues pour (QY),,, (QY),,, (QY}),, (QY).;, (QY ),,, obtenues en remplaçant dans la précédente (ab), successivement par (QC mns (Ad )mns (OC )mns (O4 }mns (CL mn: OT de là on déduit les valeurs de G, H, G’, qui sont :

(om) (bC:3& Te [Cbc }13 — (bc Jos | — (bc 142" — (0€ Du (gg'"— RÈ) (abs —(ab)23g + [( 7, (ab ]h + (abhi,g + (ab), (gg! — k?)°

H — (ac js — (ac }s38 + [(achis— (ac) ]h + (achug + (ac h:,(88! —R?)

(abha—(abhsg +[(abhs— (ab) ]h + (ab)ag + (ab) (gg 7) OÙ tdi tadhg + [adhn— (ad }h + tadhn gt + (ad) (ge #) tva (ab — (abhs38g +[(abhs— (abha]h + (abh,g'+(ab):,(28g'— Je)

sn 2 (cd 52 — (Cd h38g +[(cdhs— (cd ha lh +(cdh,g + (cd)(sgg!— he?) OCR Cri tabhne Lab) (ab)alh + (ab)ug + (ab)utge M)

C’est une transformation linéaire portant sur g, k, g'et gg’ — h?. On peut aussi poser

(0) = T1 (QU )23 = La (O0) —=— (ou) = ds;

(ou) = Lys (OU) = Ts,

de sorte que æ,, æ,, +3, æ,, æ, soient liées par la relation

Pi DEP Eat Æe == 0:

Si, des variables Q,, Y,, on déduit de la même façon des variables homogènes X,, X,, X,, X4, X;, On aura de même

XX, LE XXE ax 0.

On a alors les relations linéaires et homogènes

X,=(abhioti + (abhosre + 2(abl;; a+ (abh,,æ, + (abhaxs, X2— (bchiti + (bc hist + 2(bchs ms + (bchuir, + (bchuts.

(7) { X3—=(achoti+ (QC )osto + [2(achia—1]æ:+(achix,+ (achats, X,=(ad);sx, + (ad):sæ,+ 2(adhisxs + (ad), + (ad)s,æs, X:= (cdhyoti + (cd)o3@0 + 2(cdhiats + (cdd + (cd)axs,

qui ne sont autres que les relations (6) rendues homogènes.

Comme l'égalité KR

résulte de Li Lys + La Bi + Xi O,

et que son premier membre est une forme quadratique en æ,, æ,, æ,, L,, Ls, On a l'identité

X, X: + X2 X, + Xi — (Li ds + LiLi + æà)},

À étant une certaine constante qu’on va voir être égale à ur. Nous dirons qu’un système de cinq nombres non tous nuls æ,, x,, ss Lys C5, liés para relation

La La Li, ME O,

représente, en coordonnées homogènes, un point de l’espace à six dimensions; Six, n'est pas nul, nous dirons que le point est à distance Jinie et a pour coordonnées non homogènes les trois nombres complexes

Les transformations (6), ou (3), sont alors des transformations de

l’espace à six dimensions, que nous nommerons, pour abréger, des transformations (T). À moins d'avis contraire, toutes les transformations (T) que nous considérerons seront à coefficients réels.

2. Les transformations (T) forment évidemment un groupe is0morphe de celui des transformations (S). Cela nous permet d'affirmer que toute transformation (T) est un produit des transformations qui correspondent à S,, S,, S,, S;, S:. Or, si nous formons ces cinq transformations, nous constatons qu'elles ont toutes un pour déterminant. Il en est donc de même de toute transformation (T).

Or, par une trausformation (T), &,æ, + +,æ,+ x se multiplie par une constante À, comme nous avons vu; donc son discriminant est multiplié par ÀŸ; mais, d'autre part, nous savons que ce discriminant n'a pas changé; comme À est réel, c’est donc que À = 1; ainsi

Xi Xs+ XX, + Xi = mia + din, + di.

Ce résultat, obtenu pour les transformations à coefficients réels, s'étend d’ailleurs immédiatement aux transformations à coefficients complexes : car il est vrai pour les transformations correspondant à S,, S:, S,, que les paramètres qui y figurent soient réels ou non.

3. Supposons que æ&,, æ,, æ,, æ,,æ, Soient des nombres complexes, et Soient Lis, Los Lsos Lio Léo leUrS Conjugués: soient de même X,,, XX: 3, lescCconmueuessdé Xh, X°, À5, 4. X°. Les transfor mations étant réelles, on voit tout de suite qu'en désignant par À etu deux constantes quelconques, AX,+uX,5, ÀAX, +uX, AX3 + UX20, AX,+UXs, et AX;+uX;, sont les transformés de Ar, +ux,,, À + Mig M3 + Maps AB + Bios Ts + HE503 dONC

(A X:1 + pe X 0) (AX;+ pX50) + (AX, + Le X20) (AX; + X 40) + (AX3+ be X 30)? — (À aitu To) (As + Lio) + (À di + hd) (À re + pdio) + (À Zi + D Ts)?

En égalant les coefficients de Au, on trouve l'identité, importante pour la suite, Xi X59 + Xi X5 + Xa X 0 + Ko X4 + 2 X 3 X50

ZE Ti LED tm T0 Lé TL'a La Log LE 2 La VÆTE

Désignons, d’une façon générale, par m», le conjugué d’un nombre quelconque 7». En considérant la transformation (6), cette identité

devient GG — + GG, — 5 — GG, — G,G' + 2HH,

10 (4 Mere Len ne mL ma 9 à mm 0 ont LU [(abhis— (abh3g +2(ab) A+ tabhug (ab (gg but

En particulier, les inégalités et l'égalité

rs AA 2 #10 2 “

DORMI 86 EEE EEE ah 0; * 2 fi

LL —R + gg — 2 — gg, — go + 2hh<0,

gg — R+ gg, — hi — 82, — 8 +2hh,—=0o

(oXe)

sont conservées par les relations (6). Posons

Gos Fos Go G3 2, G'étant réels; nous avons alors Boo — ho +8 — R— 88 — 808 + 2hh—=—4(GG— F2);

donc GG — 3? conserve son signe par la transformation (6).

De plus, si GG — %°=0, G et G’ sont de même signe; or les substitutions correspondant à S,, S,, 53, S:, S, conservent alors toutes ce signe; donc il en est de mème pour toute transformation (T). Ainsi, les six domaines suivants sont changés en eux-mèmes par toutes ces

transformations :

(1) GG 0 NORGE; (1°) GG —?> 0, G+G<o; (11) GG —<o;

(I) GG'— F2 — 0, G+G>o; (1) GG — K?— 0, GG (1V) G—=R=G—0o.

Pour le domaine (IV), ou domaine réel, cette propriété est évidente. Les points conjugués de ceux du domaine (I) sont dans le domaine (1°), et réciproquement; la même chose a lieu pour les

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 10

domaines (II) et (IH), qui servent de frontière commune entre le domaine (11) d’une part, et les domaines (1) et (1°) de l’autre.

4. Nous allons maintenant démontrer que tout point d’un de ces domaines peut être changé en un point quelconque du même domaine. Pour cela, il nous suffit de démontrer qu’un point fixe dans chaque domaine peut être changé en n'importe quel autre point du même domaine.

Tout d’abord la transformation

G=Zg +, H — À nie le.

G'= g'+ », correspondant à la substitution (S)

FAO 0 ren RAT RO DE ANS 4)

permet de modifier comme on veut les parties réelles de g, k, g'; on peut donc se borner à démontrer qu'on peut transformer dans chaque domaine un certain point en un autre dont les coordonnées aient des parties imaginaires assujetties aux seules conditions qui définissent le domaine.

Pour le domaine (I), le point

Pt Po est changé dans le point St; D =Gie, ire

du même domaine, par la transformation

1 4 G “2 H o 0 ie 8 ( ( ne VYG'— 3? VW GG" VGG"— F7 G' GG! — H2 == a a) #0 7e , ; COTE S'UCC TE a 2h FE SE (££g ee) vo 5 \ J'Y

Varie Q GVGG —$# 9 J

qui correspond au tableau

FR FF 9 VEtGG— 2) VC

( IL a — (e) o TES 2 — VG (e) O O — — (0) O TE \ vG DRE

Cette même transformation change encore le point

Te == 0;

du domaine (1°), dans Le point

g—=—i6, Rte 2-10

du même domaine.

Passons au domaine (11). Le point que nous transformons est 1c1

Te LE F = .

Pl g'=— i, M0;

soit encore — ty, 2 (ACER TU

le point à atteindre. Si d’abord Ç est positif, la réponse est donnée par

la transformation correspondant au tableau

== "Ye —\ a O VE — GG) VE G (9) CRT (e) (o) RUE l, VG (e] O O si — GG!

— O0 O —————— | VG G c'est-à-dire I . G <. H "9 GC (ES ae UC (= 2 ) ( # =) - + VÉENT. VIE — GC VI 0 en ;' D:

L Re? n'a 5e Tor | eo VC LÉ ee es \ ee did Craie Re) Le] 2 Si)

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 21

Si G est négatif, nous avons le résultat au moyen de la transformation correspondant au tableau

Fe JC — ] a O0 le] = a V—G ——. 16e CC GG ® (e] \ Ve G O Oo = = GG | o HAN CU : | Ve ri | qui est 1 ns G = H ne) = en Dee.

V6) (Ve Gy) Ve — o GG" Dr Je Je? — GG" VC CC — 2 S D —+ V < dy (28 2) o \ Rx) GVIC— GG” ( €

Si maintenant (G était nul, G'ne l’étant pas, nous pourrions, par une de ces deux transformations, obtenir le point g = 14", À —ix, g —0; en appliquant à ce point la transformation correspondant à S;, on arrive au résultat demandé. Si enfin Ç et G' étaient nuls tous deux, on aurait la solution par la transformation

DR G — I h ll (ge!) 3e ICE TN r Hu : G PO “E MOTRICE) ONE EL 2 2 .

qui correspond au tableau IN O RP | (eo)

La propriété énoncée a donc lieu pour ce domaine. Ce k

Prenons maintenant le domaine (III), et, dans ce domaine, le DOI RS IE n’est pas nul, on le change dans le Done rt pu re de ce domaine au moyen de la trans-

mation G=$6, H = 22 + 2, j' o!

où il faut prendre les signes supérieurs si 3 est positif, les signes inférieurs dans le cas contraire. Si G est nul, 3e l’est aussi; comme on n’a pas un point réel, G'n’est pas nul; on arrive alors au résultat en changeant d’abord le point g =, g —h—o dans le point g= 14, g —h—o, au moyen de la substitution précédente, puis en appliquant au résultat la transformation correspondant à S,;.

La démonstration faite pour le domaine (III) est bonne aussi pour le domaine conjugué (IF).

Enfin, pour le domaine réel, la transformation citée en commençant suffit à faire voir que la proposition est encore vérifiée dans ce cas.

5. Dans ce qu’on vient de dire, on à omis de parler des points à l'infini; cette expression a, bien entendu, ici le sens que nous lui avons donné plus haut. Par une transformation convenable, un tel point peut toujours être ramené à distance finie : il suffit pour cela de se servir d’une des trois transformations correspondant aux tableaux

{ LRO O ait tn (Mi O ; le I O ?

CO O I OÉTLMR OMRO TO OMRO (o)

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 2

en reémarquant'que tr}, Tr, "xnetæmnmensont certainement pas nuls ensemble, sinon x, le serait aussi.

Quand on le ramène ainsi à distance finie, un point à l'infini tel que

Li Ds Li L5 + La Lio + Loo Li + 2L 330

soit nul, vient dans l’un des domaines (III) ou (III), mais toujours dans le même, quelle que soit la substitution employée : car autrement un point d’un de ces domaines pourrait être changé dans un point de l'autre, ce qui est absurde. Nous dirons alors, suivant le cas, que le point à l'infini appartient au domaine (III) ou au domaine (HI). Nous adopterons des définitions analogues pourles autres domaines.

La propriété qui fait l'objet du numéro précédent subsiste alors quand on adjoint aux domaines considérés leurs points à l’infini.

D'ailleurs, le domaine (1) n’a pas de point à l'infini; car, s’il en avait un, l’une des trois substitutions précédentes le transformerait en un point à distance finie pour lequel g, g'ou gg’ — A? serait nul. Or, dans ce domaine, ni g ni g’ ne peuvent être nuls; et, pour gg —#?, nous pouvons remarquer que, dans ce domaine, on a

2 “4 de : .

em en 0) en Oo MP 0 ee

si gg’— h?— o, cette inégalité devient

or, on peut poser

=== D pe == 0, a has;

« et 5 étant deux nombres complexes dont les conjugués sont &, et f, ; l'inégalité devient alors

— (a$o— 6) < 0, ce qui est absurde.

6. Nous voulons calculer maintenant le déterminant fonctionnel D(G, H,G') de la transformation (6).

Pour cela, considérons quatre variables æ,,æ,, æ,,æ,, sur lesquelles nous exécutons la transformation (S) à laquelle correspond la transformation (6). En remplaçant +, par gx, + hæ, et x, par x, + gx,

nous voyons que les variables æ, et x, subissent la transformation

X,=(a+ag+aæah)æ,+(a+ah+ag')2,