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du de di
ne change pas non plus par les transformations (T).
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 25
8. Nous avons vu que les transformations homogènes (3) sont des transformations en elle-même de la forme quadratiquex,æ,+x,æ,+x. Est-ce que toute transformation en elle-même de cette forme quadratique est une transformation (7)? Il est d’abord nécessaire pour cela
que son déterminant soit un; supposons qu’il en soit ainsi. Soit
KE di + Ar Do + Ass + ML + AsTs, Ko Bit + Bat + Bad + Bi ti + Pix, X3= its tr Yade + Yads + Yiti + V5Ts; Xy— diti + dodo + ds ds + dm, + Ôsds,
Xi ET + Edo + Ets + Ed + Es Ts
une transformation en elle-même de notre forme quadratique, de déterminant ur. On voit immédiatement que
4 E1 + Bi 0 + yi — 0.
On peut supposer que «, n'est pas nul; s’il l'était, on n'aurait qu'à multiplier à droite cette transformation par une transformation (5) convenable pour le rendre non nul. Prenons alors a,, a,, b,, b, quel-
conques sous la condition (Abe tre
puis choisissons c,, c,, d,, d, de façon que
Ci Cia bi; MC C0 20) td -Aÿÿi + bad, ds — A3yi + bird.
Nous avons alors les relations
(abh12 = (bC)12 = B1, (AE = (ad); — 01, (Cdh19 = Er.
Le raisonnement qui a servi à montrer que toute substitution (S) est un produit de substitutions S,, S;, S;, S:, S, peut, en employant les multiplications à droite, montrer qu'il existe une substitution (S) dont les deux premières colonnes du tableau des coefficients sont :
Be Ge bi C1 C2
multiplions alors à droite la transformation donnée par la transformation inverse de la transformation (7) qui correspond à cette substitution (S); si l’on désigne la transformation produit par la même notation que la transformation donnée, on voit qu'on à maintenant
At. Die 0 0.
Égalons alors à zéro les coefficients de +,æ,, æ,æ,, æ,æ, dans RN LN xe et à un celui de ,x,, nous trouvons D 0) Es — 1.
De plus, entre les autres coefficients, nous avons les relations suivantes :
Bd+ yo, Bia+yi=r, Bid+yi 0, Bad, + Br 02 + 2 Yo Ya — 1; B203+ Bsd2+2V2Y3— 0, Bad + Brds+2ysy:—0;
enfin, le déterminant
Br B: Be Va Ja (Ed 2)
est égal à un. Donc K— Ba do + Bsxs + Bix:, X3— Vols + YaT3 + Vida, Xi dote dada + Ty
est une transformation en elle-même de déterminant un de Ja forme LL + Li.
Done, en désignant par a, b, c, d quatre nombres réels convena-
blement choisis, tels que ad — bc —1,
cette transformation, st B, est positif, est de la forme
Xo= ax +2abxs — bx,, X;—=acx,;+ (ad + bc)x;— bdx,,
Ki —— cr, — 2Ccdæ; + dr:
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 51.)
US No: DE . DT c'est encore vrai si B, est nul, 5, étant positif. Mais, si l'une ou l’autre de ces quantités est négative, il faut prendre la substitution précédente
suivie ou précédée de
Xe — — Lo :
Nous prendrons, pour fixer les idées, a, b, c, d de telle façon que cette substitution précède la première citée. Alors, nous multiplierons à droite la substitution à laquelle nous sommes parvenus par l'inverse de la transformation (5) correspondant au tableau
DE GERo o) o a pre D © —#% d
. 5 RS : ; DES o : :
puis, si 6, ou 0, était négatif, nous faisons encore la substitution
(8) Nr X:——;, Ne re. X,—=—7,;, NL:
cette dernière n’est pas une transformation (7), car, appliquée à un système de nombres tels que x,x;+x,x,+ x,—0, elle échange les domaines (1) et (1’). La transformation à laquelle nous sommes par-
venus est de la forme Ki Li + Da + O3 Da + Oidi + As Ts, Ko Go — its,
Nr — me
X, = Li — Us)
Xe tt;
or c’est la transformation (5) qui correspond au tableau
