I DO — —@ 2 3 J O T — 3 , OO I O

Nous avons donc mis notre substitution sous la forme d’un produit de substitutions (7) dans lequel est, dans certains cas, intercalée une substitution (8), et une seule. Quand il n’y a pas de substitution (8), nous avons bien une substitution (7); quand il y en a une, nous n'avons pas une substitution (7), puisque les domaines (1) et (1) sont échangés.

Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que notre transformation soit de la forme (7) est qu’elle change le domaine (1) en luimême.

On peut aussi donner une interprétation géométrique des transformations (S)et(T), ainsi que des transformations analogues à (S) pour lesquelles on a l'identité

(QT 13 + (QT ho, = — (ov )13 — (OU }24)

auxquelles correspondent les transformations en elle-même de la forme æ,æ,+ #,æ,+ x? qui ne sont pas de la forme (5): les transformations (T), suivies ou non de la transformation (8), sont les transformations subies par les points de la quadrique de l’espace à quatre

dimensions Lily Lalit E 0;

les transformations (S) et leurs analogues qu'on vient de citer sont les transformations subies par les génératrices de cette quadrique dont voici les équations :

Lit (ef + g)r;, + fa; =, LTi+ Ex, +(ef—£g)t;=0, L3— EL, — fXs—=0; il suffit de poser

La condition (09 )13+ (wa, = 0

exprime que les deux génératrices de paramètres &,, &,, &,, w, et v,, v,, V3, V, se rencontrent; leur point d'intersection a pour coordonnées homogènes

Li (oo), La —(O0)2s, Li — (M0); By (ob) Ts (y).

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 29

À un point à coordonnées complexes de la quadrique, on peut faire correspondre une variété réelle à deux dimensions, savoir l'intersection du plan tangent en ce point avec le plan tangent au point

conjugué. Les transformations (T) indiquent alors les transformations de cette variété.