ES
10 Ra Ur A302 + 303 + Aves
ru bivi+ boues + Div, + bus, EUR == s :
PU; C0 + Co Vo + C303 + C,0,,
r'u,=divi+ div,+ d,v,;+ d,v,,
où les inconnues sont v,, v,, v,, 0,. Pour les solutions de ces systèmes,
on à rr'[(ov 13 + («0 )s | = (ov)13 + (Go )o,
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES, 31
par suite, comme 77° n’est pas égal à wn, (wv);3 + (œUu)2, = 0.
Alors, par la transformation (T) correspondante, le point Ci— (5). Do — (DD). Te, Di — (O0) 1e Ls—(OV)3,
a ses coordonnées homogènes multipliées par rr' : il ne change pas: c'est un point double de cette transformation (T).
Ce procédé ne fait correspondre à r et à 7’ qu'un seul point double de la transformation (T) : car, si l’un des systèmes qui donnent w,, w., O3, W, Et U,, Us, U,, v, admettait deux solutions distinctes, c’est-à-dire non composées de nombres proportionnels, r,, r,, r,, r, ne seraient pas distincts. En prenant de toutes les façons possibles deux racines non inverses, nous obtenons ainsi quatre points doubles distincts, car les produits ri, rirs, Por, ar, sont distincts, du moins si aucun d’eux n’égale moins un.
L’équation en s du cinquième degré :
(ab; —Ss (ab): 2( ab); (ab) (abs, (OC )s (bcha3—s 2(bc): (bc hs (bc); (2) (ac )1 (ac as 2(aChy3—1—S (ac (ac }sx — 0 (ad), (ad); 2(ad)s CN).
(cd); (Cd)23 a (Cd)13 (Cdi (cd )s, —s
adnelidonénles quatre raeines distinctes ur, 72; Tir late: li ON démontre d’ailleurs facilement, comme on l’a fait pour l'équation (x), qu’elle est réciproque et admet encore la racine un. Nous avons ainsi ses cinq racines quand r,, r,, r,, r, Sont distincts, et que deux de ces nombres ne sont pas opposés; mais alors, les coefficients de l’équation (2) sont égaux aux fonctions symétriques de ces cinq nombres toutes les fois qu'un certain polynome en a,, b;, c;, di n’est pas nul; l'égalité a done toujours lieu, et les cinq racines ont toujours ces valeurs.
Si aucun des nombres r,r,,r,r;, rars, rar, n'est égal à 1, la transformation (T) a donc au moins quatre, au plus cinq points doubles. Mais, en général, à la racine un ne correspond aucun point double, comme on le voit par la transformation $S, : les valeurs trouvées ne
satisfont pas à la condition æ&,æ, + æ,æ,+ a; 0; donc, en général, les transformations (T) ont quatre points doubles, et quatre seulement.
3. Si l'on a un point double de la transformation (T), on peuttrouver directement les racines de l'équation (1) qui lui correspondent; si le point est à distance finie, ce sont les racines de l'équation
a+ ga;st+ha,—s a+ha;+g'a,
—= O, b, + gb; + hd, b+ hd + g'b,—s
où g, k, g’ sont les coordonnées du point double. En effet, soient r et r les racines de cette équation ; prenons w, et w, non nuls ensemble
et tels que ro=(d4+ gas + ha) + (a+ ha; + g'a;)o,
ro=(b+gb;+hb,)o, +(b+ hb;+ gb); prenons de même v, et v, non nuls ensemble et tels que
r'u=(a;+ gas+ ha,)v,+ (a+ ha;+ g'a,)v,.
r'u=(b+ gb;+hb,)u + (b;+ hb;+ g'b,)u,.
Posons ensuite
O3 = LG + Lo, Us SU —+ hu, o,—= Ron + g'9, v, = Av, +g'u;;
alors, par la transformation (S), w,, &,, &,, w, sont multipliés par r, etu,, v,, v,, uv, parr';retr sont donc bien les racines cherchées.
4. Il-est facile de conclure de ce qui précède que la nature des points doubles doit dépendre de la nature desracinesr,,r,,r,,r,. Noussommes amenés à classer les transformations (S) et(T)en divers types, suivant la nature de ces racines.
Ces types seront au nombre de dix :
Premier type. — r;,r:, rs, r, réels et distincts.
Deuxième type. — r, et r, réels et distincts; r, etr, imaginaires con- Jugués.
Troisième type. — r, et r, imaginaires conjugués; r, et r, aussi, et distincts der, etr;.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 0)
Quatrième type. — r, et r, imaginaires conjugués; r, etr, aussi, et distincts de r, et r..
Cinquième type. — r, et r, égaux et réels, et distincts de r, et r,. Sixième lype. — r,etr, égaux et imaginaires.
Septième type. — r, etr, égaux; r, et r, réels et distincts.
Hutième type. — r, etr, égaux; r, et r, imaginaires conjugués. Neuvième type. — r, etr, égaux à un;r, etr,, à moëns un.
Dixième type. —r,, r;,r;, r, égaux.
On reconnait immédiatement que toute substitution (S) appartient à l’un de ces dix types, et à un seul.
L'objet de l'étude qu’on va faire va être d'étudier la nature des points doubles des substitutions de chaque type, c’est-à-dire de voir auxquels des six domaines (1), (1°), (IL), (HE), (HI) et (IV) ils appartiennent; de voir si le groupe des puissances de la transformation est discontinu, et, s'il l’est, de voir l'effet des puissances de cette transformation sur un point quelconque; enfin, de ramener les substitutions de chaque type à une ou plusieurs formes simples, en les transformant par des substitutions convenablement choisies. C’est d’ailleurs ce dernier point que nous traiterons d’abord dans chaque type: il nous permettra de répondre facilement aux autres questions; de plus, il nous permettra d'achever la classification dont la distinction en dix types est le commencement.
5. Avant de commencer cette étude, remarquons qu'il existe une substitution (S) dont les éléments de la première ligne ont des valeurs données : nous avons même vu une proposition plus étendue, relative à deux lignes ou à deux colonnes (Chap. 1, $ 11, 8). Mais il nous sera utile pour la suite d’avoir une telle substitution ayant certains éléments nuls; les tableaux suivants jouiront des propriétés qui nous serviront.
Soient &,, &,, a, a, les éléments de la première ligne ; si d’abord a, a,
n’est pas nul, nous aurons le tableau :
di 4) 3 dy
| eu
Si, au lieu de a, a,, on suppose non nulle l’une des quantités a, a,, 4,43, 4Ay4,, On se ramène au cas de a,a, Zo en multipliant à gauche la transformation cherchée par
SAS si di: 0:
Ss si {2437 0;
S, si A, = 0:
Si ces quantités sont toutes nulles, mais si l’une au moins des quantités a,, a, ne l’est pas, la réponse est fournie par le tableau :
