II. — Premier type

Lor,,r,r,,r,sontréels et distincts. Il existe alors des nombres m,, m;, M3, M, réels et non tous nuls, tels que la transformation (S) consi-

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 35

dérée donne lieu à l'identité (SY mQ+mQ,trmQ,+ mr (mo + mo + M0 Em AYSE

Soit

Ms Mo M; Ni

(4) 1 2 3 une substitution (S) de première ligne »,, m,, m,, m,. Posons

Ti M6) + MO02 + M:03 + M,0),, Ro M6) + Ho + 3 03 + 7 D, T3— Pit Pad + D3O03 + Pr, Ti, 411 + JG YsO3+ 4:04;

faisons de la mème façon correspondre aux variables Q,, Q,, Q,, Q, de nouvelles variables IT,, IL,, IL, IL,. Les variables IT,, IL, IL, IL, sont alors des transformées de +,, ñ:, ñ;, %, par une substitution (S), qui est la transformée de la substitution donnée par la substitution (4). Or, en tenant compte de l'identité (3)etdes relations entre les coefficients, on voit que cette substitution transformée est de la forme

(2) À Pin 0 QUE UT

O1 O1 Où 0, Mais il existe aussi des nombres réels p°, p,, p,, p, non tous nuls tels que (6) Pi + Po IL, + p; IL + p, IL — F3 (Pi Tai + Poe + Pas + Pa);

et même, p, n'est pas nul; en effet p", p,, p,, p, sont donnés par les équations Cri rs) pi + BiPe + Ps + pi 0 (Br F3) Pa + Ya Pa + dù Pa = 0 Bi pa + ya Pa (di 3) Pa = 03

si donc (B,—r;)(è—r;)- 8,94 n'est pas nul, p, ne sera sûrement

pas nul non plus; si cette quantité était nulle, c’est que l’une des racines 7, et r, serait égale àr,, ce qui est contre l'hypothèse. Donc p, n’est pas nul.

. fi ' RURESET D , Nous pouvons alors faire de p', p,, p,, p, la troisième ligne d’une substitution (S); et, d’après ce que nous avons vu (1, 5), nous pouvons faire en sorte que la première ligne de cette substitution soit

En transformant la substitution (5) par cette nouvelle substitution, nous la mettons sous la forme