CCRAROM, ON OI " CRE LORS
on arrivera à la substitution
TS a | SE
Donc, en transformant convenablement une substitution (S) du premier type, on peut la mettre sous la forme (3), que nous nommerons forme canonique des substitutions du premier t LYpe.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. DA
2. Quels sont maintenant les domaines auxquels appartiennent les points doubles des transformations (T) du premier type? La transformation (T) qui correspond à la transformation (7), et que nous nommerons aussi transformation de la forme canonique, eSt
AA
les points doubles seront au nombre de quatre sitous les nombresr,r,, lola lilas Par, SOnt distincts, c'est-à-dire si aucun d’eux n’est égal à moins un; Ce sont les points
Li Tr. La T3 Ty, l'y Où Tao—TNT, LA T3 Ly PA O; GENE UN æ'i Lo T3 LA 0 ; Ts], LR = V0!
Ces points doubles sont tous réels. Supposons maintenant que r,r, soit égal à moins un; alors on a aussi
Pro PUS Île
Aux racines r, et, correspond encore le point double
TEN=NT; Lo—=L3—= Ty = L3 — 0;
aux racines r, et r, correspond le point double
Teil ge Lo =D, DÉ ) 1 3
si maintenant nous faisons
X;— — æ; (= 1,5, où 4, ñ} nous trouvons
æ, etæ, restant arbitraires; mais comme
Li Ts + Loly + &S = 0,
De GEORGES GIRAUD.
nous voyons que l’une ou l’autre des variables x, ou +, doit être nulle; l’autre peut être prise égale à un; nous retrouvons ainsi les quatre mêmes points doubles que dans le premier cas.
Done, toute substitution (T) du premier type admet quatre points doubles et quatre seulement; ces points doubles sont réels.
Sir, las las Tr, étaient distincts mais non tous réels, on pourrait refaire le mème raisonnement, en transformant par des substitutions à coefficients complexes : on mettrait encore la substitution sous la forme (3); on en conclurait, comme on vient de le faire, que, toutes les Jois que r,, rs, r,,r, sont distincts, la substitution (T) admet quatre points doubles, et quatre seulement.
3. Considérons maintenant le groupe formé par une substitution du premier type et ses puissances positives ou négatives ; étudions l’ensemble formé par un point et ses transformés par les substitutions du groupe.
La puissance » de la transformation (7) est
RE N pr an 00 5 + mn D mm 212 ÿ TiTo di To T3 Lo T3 Tir Lr Pal 5
Supposons fr,[>|r,| > 1. Sir augmente indéfiniment par valeurs positives, X,, X,, X,, X,, X, tendent à devenir proportionnels à 1,0, 0, 0, 0 : le point tend vers le premier point double; cela suppose toutefois que +, ne soit pas nul. Siæ, — 0, æ, n'étant pas nul, le point X,, X,, X,, X,, X, tend au contraire vers le troisième point double x, = 1, Li Lo — DL — A3 — 0. pilpalhteninte el: santious deuxarle 1e
relation Li Ds + Loti + LŸ = 0
montre que æ, l’est aussi; si æ, n’est pas nul aussi, le point limite est le second point double; si x, est nul aussi, c’estque (x,,æ,,%,,æ,,æ;) est le quatrième point double, qui ne change pas.
Si n augmente indéfiniment par valeurs négatives, le point limite est le quatrième point double si x, £ o; le second si æ, = 0, x, £ 0; le troisième six, =, =#,= 0, x#,=£ 0; enfin, le premier point double est son propre point limite,
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 39
Nous voyons donc que cette transformation (T) et ses puissances forment un groupe discontinu pour tous les points de l’espace, sauf pour Îles quatre points doubles; il en est ainsi pour toute transformation (T) du premier type dont les valeurs absolues des racines r,, r., rs, r, Sont toutes distinctes.
Si maintenant ces valeurs absolues ne sont pas distinctes, soit
