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la substitution par laquelle nous avons transformé la substitution donnée est maintenant réelle; la transformée est
rCOS® —7r sinp (a ( r Sin@ r COS® 0 (o) (12) | :
o] ( r'cos® —7'sing () Oo r' sin r' cos o
c'est la forme canonique des substitutions du quatrième type.
2. En appliquant la méthode donnée au commencement du Chapitre, nous trouvons les quatre points doubles :
DE 0, y RL: da = dy LT, Di 0 DE 10: DU 1 =, Ty = — à, Dis == 10 SITE UN Lo L3 Ty Ts 0;
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES,. Â 9
Deux d’entre eux sont réels: les deux autres sont imaginaires con- Jugués et situés dans le domaine (11).
3. La puissance » de la transformation (T) qui correspond à la substitution (12) est
PAGE Ty COS ND + 23 SINN COSND — Ty SIN?
X; —— La Sin A9 COSRO + T3 COS2n9 — x, Sin 2 COS x? X;:
—%» SiIN?nQ+2L3SiINNDCOSNP+x, COS no rl? LS
Supposons r > 1. Six augmente indéfiniment par valeurs positives, et si æ, n’est pas nul, le point limite est le troisième point double. Si 4, -—0,eLsi%..4.elæ,nesont pas nuls ersemble, lés points X,, X2, X;, X,, X; se rapprochent indéfiniment de la varièté æ,—=+; —=0;, qui porte les deux premiers points doubles. Pour savoir de quels points de cette variété ils se rapprochent, remarquons que l'on a
Day EL 0;
par suite, il y a des nombres s et 4 tels que
siZetT sont les transformés de 3 et t, on aura
zCOSRp—({Sinnp zSinno+/{cosnyp
Si donc l’un des points limites de X,, X,,X,, X,, X;, pour un point initial donné, est un des deux premiers points doubles, il n’y a pas d'autre point limite; dans le cas contraire, il y a un nombre fini de points limites si 9 est commensurableavec +, etune infinité dépendant d’un paramètre si 9 est incommensurable avec +.
Si enfin æ, = æ, = 4, = %,—=0, nous sommes au quatrième point
double.
Pour les puissances négatives, on a un résultat analogue, mais les
rôles des deux points doubles réels sont échangés, et la variété x, = o est remplacée par la variété x, = o.
Les variétés æ, — 0 et x, — 0 sont situées dans les domaines (11), (HD), (LL) et (IV ); leur intersection æ, = æ, = o est située dans les domaines (11) et (IV).
Le groupe est donc discontinu, sauf pour les points de la variété æ, = +, = 0 et pour les points doubles.
