NT

CRC O 0

Oo 0 d cl 0 —Db a

où a, b, c, d sont assujettis à la condition ad — bc —=1;

la transformée n’est pas changée. Mais, si c et d sont pris tels que bd R'e— "0,

le nombre & est, dans la nouvelle substitution de transformation,

remplacé par zéro. Alors, comme

(Rp hi3 + (RP) = 0, nous voyons que

Ni Mao — 13 M0 + la Mo —* Ni Moo = M0 M3 — 30 M + Ro M — No Ma = O3

alors

(RQ hs + CM} +5 donc À —0.

Nous pouvons alors traiter cette substitution comme nous avons fait pour le troisième type. Posons

ri COS + isiny, T3 COS® — Ésin?;

nous arrivons à l’une des deux formes

cos o) — sin 0) (o cos () — sin (7) sin® 0 cos @ 0 (o) sin ® (9) cos o COS @ 0 — sin® 0 (9) COS @ O sing | AS sin @ o) coso 0) |

0 — sin 0 cos

la forme (19) est la premiere forme canonique du sixième type, la forme (18) est la deuxième.

Dans la forme (19), on ne peut pas changer + en — © : on n’aurait plus une transformée de la substitution donnée. Dans la forme (18), ce changement est possible.

2. Cherchons les points doubles des transformations (T) correspondantes. Pour la première forme, nous trouvons les points

Tel Ts 7, Ts — 0; Ti = — i, Ly—=— 1; Lil, Lol, Va 0, CRE OU Ts —1;

ils sont imaginaires conjugués et situés l’un dans le domaine (1), l’autre dans le domaine (1'); de plus, nous avons tousles points de la

variété à deux dimensions

qui est tout entière dans le domaine (IT).

Pour la deuxième forme, nous trouvons les points

ÉD D MU Di 0: Did il: Dé —ln et

, ME tnns ë, Ts—1, qui sont imaginaires conjugués et situés dans le domaine (IT); et de

plus, les points de la variété à deux dimensions

Li—=— D Lo,

située dans les domaines (1), (F) et (IV).

3. Les groupes formés par les puissances d’une de ces substitutions sont formés d'un nombre fini de substitutions si © est commensurable avec x; dans le cas contraire, ils ne sont discontinus pour aucun point de l’espace.

4. Supposons maintenant que, par une transformation imaginaire,

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES.

Qt SI

on ait mis la transformation donnée sous la forme

T1 OLEO 0 TO (e] OO Cut ral.