IX. — Huitième type

1. Dans ce type, r, et r, sont égaux : leur valeur commune est alors +1; r,etr, sont imaginaires conjugués : leur valeur absolue commune est un.

En opérant comme pour le type précédent pour les racines r, et r,, et comme dans le deuxième type pour 7, et r,, on voit tout de suite qu'on parvient à l’une des formes

7 0 0 0 | 0 COS® © —sin (26) | qe e) re) 5% 0 O sing o COS PA O (e) e) O COS® O —Ssino (27) :

jé (e) 7 e) eo) sin® OO Coso | Je 0 (o) 0 OM COS PO SINC (28) :

— 7; re) ê (o) (e) sino oo COS ®

la forme (26) sera la première forme canonique du huitième type; la forme (27) sera la deuxième, sens direct, et la forme (28) a deuxième, sens indirect. Ces deux dernières substitutions (S), après changement de © en —+ dans l’une d'elles, sont inverses l’une de l’autre.

2. Pour la première forme canonique, les points doubles sont ceux

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 65 S des variétés à deux dimensions imaginaires conjuguées

= ME Dee Les = 0 et D ln Li LAB V3 10;

la première variété est située dans les domaines (1), (IL) et (HE), la deuxième dans les domaines ([°), (I) et (HI). Ces deux variétés ne se rencontrent pas.

Le groupe des puissances de la transformation est fini si + est commensurable avec x; dans le cas contraire, il est infini et discontinu pour tous les points de l’espace.