X. — Neuvième type

L.Icir, etr, sont égaux;r, etr, le sont aussi, mais sont différents der, etr,. L'un de ces couples est composé de racines égales à un, l’autre de racines égales à moins un. Nous désignerons par r la valeur commune der, et der,; — r sera celle de r, et de r,.

En opérant comme pour les deux types précédents, on voit tout de suite qu'on peut, en la transformant par une substitution (S) réelle, mettre toute substitution de ce type sous l’une des formes

ya (e) 0 O

(o) —T oO te) | (29) £r" (0) m o) ;

O —"n7 OO —7

où € et n peuvent prendre chacun l’une des trois valeurs zero, un ou moins un. D'ailleurs, si l’on transforme une de ces formes par la substitution S; (Chap. I, $ [, 3), et qu’on change ensuite 7 en —r, on arrive à une forme analogue à (29), mais où e et n sont échangés. On peut donc réduire à six le nombre des formes obtenues :

EN —= 0, première forme canonique ;

E — 1, N —0, deuxième forme canonique, sens direct ;

E——I1, N—O0, deuxième forme canoniqu?, sens indirect; cette substitution est l'inverse de la précédente;

EN —= 1, troisième forme canonique, sens direct ;

EN = — 1, troisième forme canonique, sens indirect; cette substitution est l'inverse de la précédente; E—I1,N— — 1, quatrième forme canonique.

2. La transformation (T) correspondant à la première forme est

X1—=— x, SE dos Nr, Xi, — , Ki.

Les points doubles sont ceux de la variété à quatre dimensions

cette variété pénètre dans tous les domaines (1), (1°), (I), QD), (EH) et (IV).

Le carré de cette transformation est la transformation unité.

3. Pour la deuxième forme, les points doubles sont ceux de la variété

TEL Sy — 0)

située dans les domaines (II), (HE) et (IV).

La puissance » de la substitution de sens direct donne lieu à la transformation (T)

Sir augmente indéfiniment, le point limite est un point double; le groupe est discontinu, sauf pour les points doubles.