Pour la troisième forme, l'unique point double est

L1— La L3— Li —O, Ts; —1;

il est réel.

La puissance z de la transformation (T) de sens direct est

NU X2 PTE X, —i)as ni) (—itams 3 n(—i)æ+(—i) x X;

n'(—i)tz, + n(—i)tir + n(—i)te, + ( LE

Les transformés de n'importe quel point tendent vers le point double ; il n’y a d'exception que pour les points de la variété à deux dimensions

ce qui entraine

les points de cette variété autres que le point double occupent seulement deux positions, l’une pour laquelle x, = x,, l’autre pour laquelles = Tr.

Le groupe est donc discontinu, sauf pour les points de la variété æ, —0, æ —#,. À l'exception du point double, qui est réel, ces points sont tous dans le domaine (Il).

5. La quatrième forme canonique a aussi l'unique point double

PAT Da T3 Ty O; Lys —= 1;

qui est réel.

La puissance À» de la transformation (T) est

TIC x re x (nm nr Er) nt (ne, = X; ni) him + n(—i)æ+ n(—i1) ri, +( rs

Les transformés de n'importe quel point tendent vers le point double. Il n'y a d'exception que pour les points de la variété à deux

dimensions == 0}, ol;

ce qui entraine æ, = + x, : les transformés de ces points, autres que le point double, n’occupent que deux positions distinctes, une pour

quelle x = 7, l'autre pour laquelle 7; Le groupe est discontinu, sauf pour les points de la variété à deux dimensions +, = 0, æ, = —x,,quiestsituée dans les domaines (IT),

GLS et CIM): XI. — Dixième type.

1. Dans ce type, r,, r,, r, et r, sont égaux; leur valeur commune est + 1; nous la désignerons par r.

Nous pouvons d’abord mettre toute substitution de ce type sous la forme

Fr» Ados 6

5 Boon té COURS CHR CRE)

Il existe alors trois nombres »,, m,, m, non {ous nuls tels qu’on ait l'identité

M, + m0, + mQ,— Tr (ma + Mas + M, 04) + koi,

k étant une certaine constante. Comme pour le cinquième type, on peut supposer que m», où 77, n'est pas nul.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 69

St d’abord m, n’est pas nul, on peut raisonner comme pour le neuvième {ype, et arriver ainsi à l’une des formes

r' DOC | ; O TOO (31) se TROT

| ie NO

où € et n peuvent prendre chacun l’une des trois valeurs zéro, un et moins un. Comme dans le neuvième type, on peut, en transformant par S; (Chap. [, $ LI, 3), échanger &e et n. On obtient donc ainsi six formes canoniques :

= N — 0, premiére forme canonique;

£E—I, n —0, deuxième forme canonique, sens direct;

E— —1,"n—= 0, deuxième forme canonique, sens indirect ; cette substitution est l'inverse de la précédente;

EN —=1, troisième forme canonique, sens direct ;

E—N——1, tro'sième forme canonique, sens indirect ; cette substitution est l’inverse de la précédente ;

€E—1,N——1,quatrième forme canonique.

Supposons maintenant

RO) Ni, 2 0:

Nous pouvons transformer par

où n, et », sont tels que (n),, = — 1. La transformée est alors 7 OO (e) Bi TE OO ) OR EEE

avec la relation r (ya Br) — JB: 0.