Considérons donc une transformation ayant le point double
Les, h==0;
soient r et r’ les racines de l'équation en s auxquelles correspond ce point double.
Si Ce Ca Gr) Un Cn x CHRRC ECS IC:
| di d, d; d,
est notre substitution (S), l'équation en s (1) (ai+ia3—s)(b+ib,—s)—(a;+ia,)(b;+tb,;)—0o
admet les racines r et r’. Nous supposerons d’abord que r n’est pas égal à r',c’est-à-dire que nous n'avons pas une substitution du sixième type, première forme. Nous voyons alors que l'on a
en posant r = COS + isiny,
r'= cosŸ + sin.
Une solution quelconque des équations en w, et w,
(a+ ia;—s)u+(a+ia)oi—= 0,
uts ( (b+ib;)wi+(b2+ib,—s)w2= 0,
qui se réduisent à une sis égale r ou r’, vérifie aussi les équations
(4) iso = (Ci + cs) on + ( Co+ Cr) Oo, iso» = (di + id;)o1 + (d, + id,)w.
Supposons d'abord a,+ta, différent de zéro; nous pouvons
prendre Gi = do + iQ, Da =S — Aj — iQ3;
done, pour s égal à r ou à 7",
iS(ds+ ia) = (Ci + ic) (da + las) + (Ca dc) (S — di — tas);
donc
Ca + IC, = Ga + ia, ); puis
C;y + iC3— ai + ia); ainsi
GER; CS — — @, C3— 1, Cy— Q; mais (aCh13+ (Cha = 1;
donc
aî + aÿ + aj + ai 1.
Mais alors, les équations (2), jointes aux équations (abhis+ (ab, = (bchis+ (bc — 0,
permettent de déterminer b,, b,, b, et b,; on trouve ainsi
b,—— a, cos(p +4)—a,;sin(e +), by ai cos(o + Ÿ) + a; sin(o + vd), bs— a,cos(o + d) — a,;sin(o +), b,—=— a; cos(o +) + a, sin(o +d).
Nous remarquons alors que
bb = ai + i&,) [cos(o + d) + t sin ( + d)];
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 79
donc b, + 5b, n’est pas nul; un calcul pareil à celui qui nous a donné Ci» C2» Ca et c, nous donne
di—=— b;, dy —— b,, d3= b:, d,= b.
En posant © + Ÿ — 0, nous parvenons à la substitution
di do 3 a, (5) — 4)3C0S0— a,sing a cos0+a;sin0 "a, cosô—a,sin0 —a;cos0 + a sinô — A3 — G}} d; do —a,C0S0+a,sin0 a,;cos®—a;sin0 —a;,cos0 — a, sin0 di COS0 + a;sin 0
qui est bien réellement une substitution (S) répondant à la question si
ai + ai + a? + a? —=1.
Nous avons supposé 4,+1a,=Æ£0; supposons maintenant a,+1a,= 0. Les équations (4) sont alors vérifiées pour w,— o et pour w,—= 0, ce qui donne
Co + IC, = di + id;= 0; alors les équations
(u0)s =tbc) = 0, (Ge = 1 montrent que b, — b, — 0. Les équations (4) donnent ensuite Ci+iCs—t(ai+ias), Ltd (bibi) enfin les équations (2) deviennent ai b3— ab, = cos(o +4),
a30;+ a b,—=sin(p +);
on retrouve alors la substitution (5), où l’on a fait a, = a; = 0. Quand on a la substitution (5), on peut calculer facilement + et d. On a d’abord la relation GES d —— GE
de plus, l'équation (1) nous montre que
a+ ba COS + cosŸ, as + b,= Sing + sind;
ces deux dernières conditions se réduisent à celle-ci :
() DD (6) di COS — + A3 SIN — — COS ——-.
Nous avons donc + et Ÿ, en grandeur et en signe.
Nous avons, dans le calcul précédent, supposé que nous n’avions pas affaire à une substitution du sixième type, première forme, et que, par suite, r n'était pas égal à r’. Supposons maintenant que l’on ait
PE Te On voit tout de suite sur la forme canonique du sixième type, première forme, que les conditions
3101; 6, Lo,
le point double étant g=g—1t, h = 0, entrainent les égalités
2, SG G, HIS ME EC, De là résultent ici les équations di + la3 = COS + Sin, di + la, = 0, bi+ib;—=0, b,+ib,= cosp +isine, C1 + C3 i( COS + isiny), C>+ EC, —=0, d,+id;— 0, d;+ id, = i(cose + isino); on arrive ainsi à la substitution COS ® (9) sing Oo 0 COS o O0 sinv — sin (e) cos® o (0) — Sing © cosy
Or si, dans la substitution (5), on veut avoir
la condition (6) montre que 4j COSP + a; Sinp —1.
Mais, comme a + a; + aï + ad? —1, on a aussi
(a cos? + a; sinp) + (— a sing + a, cosp} + a? + a? — 1;
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 81 donc di Sin — a; COSP — 0, D 40; par suite di —= COSY, a; = Sin9.
Nous retrouvons ainsi notre substitution du sixième type, première forme.
La substitution (5) peut donc, pour des valeurs convenables des paramètres, représenter n'importe quelle substitution (S) de point double
Bin l, Me 0:
3. Le produit de deux substitutions (5) est donc une substitution (5). Si, dans les deux facteurs, l'angle 0 — © + Ÿ à les valeurs
respectives 0 et 0’, sa valeur © dans le produit est O — 0 + 0".
Ceci nous prouve que les substitutions (5) du sixième type, deuxième forme, et celles du neuvième type, première forme, forment aussi un groupe. | En écrivant les valeurs de a,, a,, a,, a, dans le produit, on retrouve l'identité d’'Euler sur le produit de deux sommes de quatre carrés.
II. — Variétés à cinq dimensions invariantes par les transformations qui ont un point double donné dans le domaine (1).
