GES

on retrouve le premier membre de l'équation (12).

Donc, la forme (13) égalée à zéro représente les variétés invariantes déftentres ie re

Nous voyons immédiatement que, si une variété qui a pour centre le DONS Re 0 PDA parle point ML, 2,2, 1 CL, celle qui à pour centre le point M et qui correspond aux mêmes valeurs des paramètres À, 4, y passe par le point P. L'équation

(15) œ norme (1 Ë50 + Libro + 2L3630 + Libro + LsË10) + 6 norme(aæiËs +mË, +2mË, + ait + ab) + 7 (Mi Ds0 + Lio T5 + Ladi0 + Too Li + 2 T3 30)

X ( Ë1 Éso + Ë10 Es + Ee Eo + Préc Dés Es) = 0)

qui représente la première variété si l’on y regarde &,, æ,, æ,, &,, æ, comme variables, ne cesse pas, en effet, d’être vérifiée si l’on échange LANCE == 1, 27014, 0):

3. Supposons que, dans l'équation (15), on prenne la même valeur pour « et pour B : es coefficients de cette équation en æ,,æ,, 7,3, &,, æ; sont alors réels. Proposons-nous d'étudier la disposition des variétés représentées par cette équation.

Nous nous contenterons de faire cette étude pour les variétés dont le centre est le point g = g— 1, h — 0; les résultats s'étendent immédiatement à toutes les autres variétés. Nous prendrons donc l’équation (12), où nous ferons

VEIOS

cette équation devient ainsi

(16) À (Ti Lio + La Tag + 23 Lo + Li Lio + Ts C0)

+ (Ti Lso + Lio Ls + La Dig + Lao Li + 23 ap) = 0.

Nous voyons que deux variétés (16) ne se rencontrent pas : car leurs points d’intersection devraient annuler |

Ti Lio + Lo Lo + 23 Lo + Di Lio À Los Do)

ce qui est impossible. Donc, deux variétés de mème centre et à coefficients réels ne se rencontrent pas.

En particulier, aucune de ces variétés ne rencontre la variété

Lil 50 + 10 T5 + La lr0 F Lao Li + 23 L39 — 0,

qui est la variété qui correspond à À — o.

Ecrivons maintenant l'équation (16) en coordonnées non homogènes; elle prend ainsi la forme

GPA er oh reg (88 M) I] (6090) 0;

Cette équation peut encore s’écrire ainsi :

(18) pf(gg"— RH 1) (8080 5 +1) +(g— 28") (80— 80) FAR]

&o + (—p)[i+ ge + 2hh+ 890 + (gg —#) (8089 — hi)]—= 0.

Faisons dans cette équation 1 — À : l'équation entraine

= ©, A8": gg — hR= —1, et par suite D =

La variété ne comprend donc alors aucun autre point que les deux points conjugués

ner Ro;

= nl, h=10:

Si (À — y) est positif, c’est-à-dire si x} est compris entre zéro et À, l'équation (18), ou (19), est impossible.

L’équation (19) s'écrit aussi

G9) A(gg —h +1) (880 — hi +) +(g—2')(80—£8,)+4hh]l = 4(p—À)(ÇG— 37).

Donc, si À est, par exemple, positif et si m>

la variété (17) est tout entière dans les domaines (1) et (l'). Cette variété existe dans ce cas, car le premier membre de l'équation (13) est alors

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 87 positif pour les points réels, et négatif pour le point g=g'=1, —0: donc il s’annule quelque part. Comme les coefficients sont réels, cette variété se compose donc de points situés dans le domaine (1) et des points conjugués des précédents, qui sont dans le domaine (1°). Pour les points d’une de ces variétés, GG’ — 3e? est borné. Si l’on a deux de ces variétés telles que, pour la première, À et & aient les valeurs À, et t,, et pour la seconde les valeurs À, et d,, et si Pi He Er kL>o À Às 1 , tous les points de la deuxième variété rendent négatif le premier membre de l'équation de la première : nous dirons que la deuxième variété est à l’intérieur de la première. Si Ç6'— 5e? reste inférieur à M sur la première variété, cette quantité est aussi inférieure à M sur la

seconde. L'équation (19) montre alors que, si a est très peu supérieur

à un, tous les points de la variété sont tres voisins de l’un des points 2 — 2%, — 0er 2 — 2 — —71, À — 0, quisont des centres de la variété.

4. La variété (17) partage, si £ est supérieur à un, le domaine (T)

en deux parties : celle pour laquelle son premier membre est positif, et celle pour laquelle il est négatif; ces deux parties sont linéairement connexes. Il suffit de le montrer dans Le cas où À est positif.

Prenons d’abord celle de ces parties pour laquelle le premier membre de l'équation (17) est positif. Posons

g =pe?,

o étant positif : le premier membre de l'équation (17) est un trinome du second degré en p, dont le terme de plus haut degré est positif. Pour certaines valeurs de 2’et de 2, ce trinome n’a pas de racines : car il est certain que la valeur absolue de g’, par exemple, ne peut, sur la variété, tomber au-dessous d’une certaine limite. Or, le premier membre de l'équation (17) est alors positif quel que soit p; dans les autres cas, il est positif quand o est extérieur aux racines : la région où il est positif est donc évidemment linéarrement connexe.

Prenons maintenant la région du domaine (1) où ce premier membre est négatif. Nous allons montrer qu'on peut, sans sortir de la région, faire décrire à un point mobile un chemin continu, partant d’un point

quelconque de la région, et ‘aboutissant au point g =g'=t, À —0. Posons

2 tu o — É l—u o! — a er DETENLL lo = l—u

k, t, u étant de nouvelles variables remplaçant g, , g'; elles s’expriment au moyen des anciennes variables par les relations (22 (4

po ne EVE = (eo) LOS, kR——(98g —h°), LE Dr

Le premier membre de l'équation (17) devient, en appelant #4,, 4, et u, les conjugués de #, 4, u,

2 kKk (£— u) (lo — uo) alu + otouo—(t+u)(to+ Uo)

(20) a}, + ATK + [2atutuo+(t+u)(to+ Uo) + 1!

+ |- KR — ki —2kk,

Pour les valeurs initiales de #, £, u, cette expression est négative.

O Sans changer #, ni u, ni la valeur absolue de #, rendons # réel : cela peut se faire d’une façon continue sans que 4°? + # décroisse Jamais, et sans que, par conséquent, l’expression (20) soit à aucun instant positive. Le nombre Æ est donc maintenant réel; l'expression (20) devient

(21) [ri PRET EL MR (4H u) (to+ U6) =] / eZ to)(U — 0), ({—u)(to— Uo) SA Te)

Diminuons maintenant d’une façon continue les valeurs absolues des parties réelles de £ et de w, de manière que leur rapport reste constant, et, en même temps, diminuons, s’il y a lieu, le nombre réel Æ

de MANIÈLE QUE "+ Mere,

ne change pas; ne touchons pas aux

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 89

parties imaginaires de £ et de &: dans cette opération, l'expression (21) diminue constamment, elle reste donc négative; nous arrivons ainsi à rendre # et u purement imaginaires. Posons

Lt, u—— if,

et remplaçons £ et u par ces valeurs dans l'expression (21); nous trouvons l'expression

. à 20674 (x—B}+2 7. Gb (2) 2144 +2kx ES) — 16H (a+By

Comme cette expression est négative, c’est que « et B ont le même signe. Amenons-les d’une facon continue à être égaux, sans changer «6; nous pouvons le faire sans que «? + 8? cesse de décroitre; diminuons en même temps #, de façon que le coefficient de w ne change pas; alors l'expression (22) décroît et reste par suite négative.

Nous sommes maintenant en un point où g et g' sont purement imaginaires, et où À est nul; posons

g—ig, g'=if"; le premier membre de l’équation (17) devient (25) AUS SSSR TU SSE

on peut faire varier GÇ et G’ d’une façon continue de manière à les rendre égaux, sans changer leur produit, et sans que l'expression (23) cesse de décroitre; elle devient alors

(24) Sn PET

Si nous égalons cette expression à zéro, nous avons une équation bicarrée qui a deux racines positives ; la valeur considérée de G et la valeur Ç = x sont toutes deux entre ces racines; on peut donc aller de

l'une à l’autre sans rencontrer les racines. Nous sommes ainsi parvenus d’une façon continue au centre g = g'=1, h — 0, de la variété. Notre proposition est démontrée.

L'intérieur de la variété (17) se compose donc de deux régions, l’une dans le domaine (1), l’autre dans le domaine (1°); chacune de ces

go GEORGES GIRAUD.

régions est linéairement connexe. L'extérieur se compose d’une seule région linéairement connexe.

5. Reprenons l'étude de la variété (17), en prenant maintenant les

valeurs négatives de =.

L'équation (17) s'écrit encore sous les formes CHE UNE To +Q+p)fi+ gg +2hh+ se +(sgg —h?)(

(26) A(gg' —#—1) (8080 —h5—1) +8 +8) (80+80)1=4 (4 +266" — F2),

Donc, si w est compris entre zéro et — À, l'équation (17) est encore impossible. Pour 4 = — À, la variété se réduit à

! 2 r2 4 BR — 92— 1,

elle a seulement deux dimensions; ses équations en coordonnées homogènes sont ; DD), D TR

elle est tout entière dans le domaine (I). Si Ê est inférieur à — 1, la

variété existe et est tout entière dans le domaine (IH).

III. — Application à une propriété des groupes de transformations (T).

1. Taéorème. — Se les transformes d’un point M du domaine (1) par les trans formalions (T) d’un groupe n'ont pas ce point pour point d'accumulation, ils n'ont aucun point d’accumulation dans le domaine (1), et le groupe est discontinu pour ce domaine.

Supposons, pour nous placer dans le cas le plus général, que le point M soit transformé en lui-même par un certain nombre p de transformations du groupe. Ce nombre p, qui est au moins égal à un, est nécessairement fini, puisque M n’est pas un point d’accumulation de ses transformés.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. OÏ

pour qu’à l’intérieur de la variété correspondante de centre M il n'y ait pas d’autre transformé de M que M lui-même (on fait toujours y— 0).

que la précédente: les variétés 2, de paramètres À, et 4, qui ont leurs centres à l'extérieur de Ÿ ont toutes le point M à leur extérieur; on

peut donc trouver des valeurs À, et u, des paramètres telles que À

k soit supérieur à un et que la variété de centre M correspondant à ces valeurs soit tout entière extérieure à toutes les variétés Z,. Prenons

U De :

Se et D: les variétés qui ont 1 2

pour centres deux transformés distincts de M et qui correspondent à ces valeurs de À et u sont tout entières extérieures l’une à l’autre. Soit R une région du domaine (1), sans point commun avec la fron-

alors pour | la plus petite des valeurs

tière. Les variétés de paramètres À et & qui ont leur centre dans la région R sont intérieures à une certaine région R’ du domaine (T), obtenue en ajoutant à R tous les points du domaine (1) intérieurs à une variété quelconque de mêmes paramètres ayant son centre dans R.

Or, l'intégrale

ee [ d, dQ dR, di dG,, dG' = (gg — y

a la même valeur ©, pour toutes les variétés de paramètres À et 1. Soit ©, sa valeur pour la région R’. Le nombre des conjugués distincts

de M intérieurs à R est au plus LE il est donc fini: chacun de ces conjugués compte d’ailleurs pour p, comme M lui-même; mais ces conjugués n'ont pas de point d’accumulation dans R, ce qui est conforme à l’énoncé.

Soit maintenant N un point quelconque du domaine (1); nous voulons démontrer que les transformés de N n’ont pas non plus de point d’accumulation dans le domaine (1). Donnons aux paramètres des valeurs À’, &’ telles que la variété de paramètres \’, u'et de centre N ait le point M à son intérieur. Si une transformation du groupe change NenN,etMen M,, M, sera à l’intérieur de la variété de centre N,et

de paramètres W’, w’. Adjoignons à la région R tous les points intérieurs aux variétés de paramètres \’, x’ et de centre intérieur à R; nous trouvons ainsi une région R’, intérieure au domaine (1). À tout transformé de N intérieur à R correspond un transformé de M intérieur à R’; comme le nombre de ces transformés de M est fini, il en est de mème du nombre des transformés de N intérieurs à R. Le théorème est complètement démontré.

2. Remarque. — Dans l'énoncé du théorème, on aurait pu évidemment remplacer le domaine (1) par le domaine (F').

On n'aurait pas pu le remplacer par un des domaines (ID), (HD), (I) et (IV): les groupes formés des puissances d’une substitution montrent que le résultat ne serait pas vrai pour ces domaines.