IV. — Polyèdre fondamental d'un groupe discontinu

1. Soient A, B, C trois points du domaine (1) : nous dirons que C est plus près de À que de B si, À et & étant choisis de façon que la variété de centre C correspondante passe par À, le point B est extérieur à cette variété. Si la variété qui passe par À passe aussi par B, C sera dit équidistant de A et de B.

2. Soit À, un point du domaine (1) qui ne soit pas un point double d’une des transformations d’un groupe F discontinu dans Île domaine (1). Soient A,, A,, .., A,, .… les transformés de A, par les substitutions du groupe : ces points sont tous distincts.

Soit maintenant M un point quelconque du domaine (1). Prenons une variété de centre M, ayant à son intérieur le point A, : cette variété aura à son intérieur un nombre fini des points A,, À, A,, ..., An, ..…. Il y a done un nombre fini de ces points dont M est plus rapproché que de tous les autres; si ces points sont A,, A,, A,, .…, À,, nous dirons que M fait partie des polyedres fondamentaux qui ont pour centres A, À, A», .…., À. En général, M ne fait partie que d’un seul polyèdre; s’il fait partie de plusieurs, c’est qu'il est sur leurs frontières à tous.

3. Si l’on considère le polyedre fondamental de centre A, et qu’on

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 93

lui applique la transformation qui amène A, en A,, on obtient le polyèdre fondamental de centre A.

Tout point du domaine (1) fait donc partie du polyèdre de centre A, ou de l’un de ses transformés.

4. Supposons que les polyèdres de centres A, et À, se touchent : quelle est leur surface de séparation ? Tous les points de cette surface sont équidistants de A, et de A,. Si le point A, a pour coordonnées £,, EE one Ot Si, par la transformation qui amène A,en A,, ces quantités deviennent &, €, €, £ €, les points cherchés satisfont à l'équation

(27) norme (TiË59 + ZoËio + 23630 + Libso + L3Ë10 ) + norme (æiés +aË, +omiés +aik + )

—. NOrMe(Tiéss Loris AZI 0 PE Tiéog + Lycte)

+ norme(rië, +, +omst, +at, + sé, ).

Pour les points M plus voisins de A, que de A,, le premier membre est plus petit que le second, comme le montre immédiatement la considération des valeurs de = pour les variétés de centres A, et À, qui passent par M.

Si l’on admet que £,, 8, £,, &,, £; représentent successivement les coordonnées des divers transformés de A,, de sorte que

Es Ë5o + Eros + Cao + É2oËs JE 2 Ë3Es0

garde une valeur constante, le problème de trouver à quel polyèdre appartient M revient donc à trouver le minimum de l’expression

(28) norme (T1 Ë50 + Laëso + 2L3Ë30 + TiË20 + LsË10)

+ norme (ZiËs + ob, +23 + Zibs + as ).

5. Ce que nous venons de faire pour le domaine (1) peut se répéter pour le domaine (1°). D'ailleurs, on peut prendre le centre du polyèdre indifféremment dans (1) ou dans (1°): car une variété qui à pour

centre un point a aussi pour centre le point imaginaire conjugué.

6. Pour le domaine (II) et pour les autres domaines, il n’est pas

évident que le groupe soit encore discontinu pour certains points. G. 13

Même s’il l’est, il n’est pas certain qu’un de ces points soit plus rapproché de l’un des points A,, A,, A:, ..…, À,, ... que des autres. Mais, si cela arrive, notre procédé permet de prolonger le polyèdre fondamental dans le domaine (11) et les autres domaines.

Pour les domaines (IL), (HE) et (IV), on dira qu'un point est plus près de A, que de A, si, pour ce point, le premier membre de l’équation (27) est plus petit que l’autre.

Un point d’un de ces domaines pourra ne faire parte d'aucun polyèdre : cela arrivera si l'expression (28) n’a pas de minimum.

Un point peut aussi faire partie d’une infinité de polyèdres st l’expression (28) atteint une infinité de fois son minimum.

7. Le polyèdre fondamental est limité par des faces dont l'équation est de la forme (27). Ce polyèdre est convexe, c’est-à-dire situé d’un même côté d’une de ses faces prolongée indéfiniment.

Ces faces se coupent deux à deux suivant des arêtes, qui sont des variétés à quatre dimensions.

8. Supposons ces faces en nombre fini. On démontre, comme pour les groupes fuchsiens et hyperabéliens, que ces faces se distribuent en paires de faces transformées l’une de l’autre par une transformation du groupe.

Considérons maintenant les arêtes du polyèdre fondamental; on peut les répartir en cycles, comme pour les groupes cités. Pour cela, on prend une face F, et une arête À, de cette face; en traversant cette face, on entre dans un autre polyèdre : une transformation T, du groupe ramène dans le polyèdre fondamental et transforme F, dans la face conjuguée F',et A, dans A,; A, sépare F' d’une face F,; on recommence sur F, et A, ce qu'on a fait sur F, et A,, ce qui introduit une transformation T,, et ainsi de suite. Le nombre d’arêtes qu’on trouvera est fini, car il y en a un nombre fini dans le polyèdre. On sera arrêté quand une opération de plus redonnerait l’arête initiale, ou bien quand on sera arrivé à une arête adjacente à une région de la

surface GG'2HI3€2—=10

faisant partie de la frontière du polyèdre fondamental.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. OÙ

Supposons qu’on retombe sur l’arête initiale A, ; soientT,,T,,.….,T, les transformations introduites; alors T,, T,, ..…, T, transforme cette arête en elle-même. Supposons que A, ne soit pas tout entière sur la

surface GG'— F2 0;

alors une certaine puissance de T,T, ...T, est la trans formation unité. En effet, soient C, le centre du: polyèdre fondamental et C; son transformé par (T,T,...T,). Soit P un point de A,, non situé sur GG — %*— o; soit £ la variété de centre P passant par C,; les points C,, GC, .…., C; sont tous situés sur 2; leur nombre est donc fini, ce qui démontre la proposition.

Le polyèdre dont on est parti étant fondamental, aucun des polyèdres Hausionnes parties substitutions 2 CL, T;-:.T,) AT TL 1-7, ne doit empiéter sur lui; c’est une condition à laquelle satisfait le cycle.

S1 cette condition est remplie pour tous les cycles, le polyèdre est le polyèdre fondamental d’un groupe discontinu. Les transformations fondamentales du groupe sont T,, T,, .…, T, et les transformations analogues des autres cycles.