CHAPITRE IV

POLYÈDRE FONDAMENTAL DU GROUPE DES PUISSANCES D'UNE TRANSFORMATION (T).

4. Nous nous proposons d'appliquer au groupe formé par les puissances d’une transformation (T) la méthode exposée dans le Chapitre précédent pour former le polyèdre fondamental. Nous pouvons au préalable supposer que, par une transformation (T) convenable appliquée à l’espace à six dimensions, on à mis la substitution génératrice du groupe sous une des formes canoniques. Les résultats différeront suivant la forme canonique que l’on considérera.

9, Premier type. — Ayant mis la transformation sous la forme cano-

nique (7) (Chap. I), nous prendrons d’abord comme centre du premier polyèdre fondamental le point

dont le transformé par la puissance — 7 de la transformation à pour coordonnées homogènes

PRE nel CRE nn pt | CNE 5 D ff , .

(CDN ET PA EE Co LEURS 63 — 0; UT 3 Es ls V4

l'expression (28) (Chap. IT) devient alors, en la divisant par deux,

21 »21 .2/2 ,2N 2 nel .2/2 ,91 (2) RTS Lie + le TS Le dagie Di Di Dilis PRE

— Lil 59 — L10 3 — Lo C0 — Log Li

Nous voulons que son minimum ait lieu pour n — 0. Il est nécessaire pour cela qu’on ait

(7? 7 — 1) titi + (T5 13 —1) Loto + (TT TÉ —1) Zlio + 2 273

( — 1) Le Lao + (73° TE? — 1) Lido + (7:

Ces conditions sont aussi suffisantes : elles définissent le polyèdre fondamental, qui a ici deux faces. Pour le démontrer, il nous suffit d'établir qu'on aura, quel que soit n, sous les conditions (3),

(4) (TT 1) Lai rao (Ua )ri Tee TI ET me Era ri 1:75 0.

Or, posons QI AE ri rs = et loger log r?r? loger er ee Pa erereo Ori TE OS TATe OST

Le premier membre de l'inégalité (4) devient (5) (Y — 1) Titi + (9 — 1) Loto + (PP — 1) di0 + (NY — 1) Ti Tso.

Ceci suppose, ce qui est toujours permis, que r°r;, n’est pas égal à un. Supposons que les valeurs absolues de r,, r.,, r;, r, soient toutes distinctes et que

(6) | lille lerirlaltet

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 97

Ces inégalités entraînent celles-ci :

Po ae:

L'expression (5) présente donc deux variations, au sens qu'on donne à ce mot dans le théorème de Descartes, qui, on le sait, s'applique même si les exposants sont irrationnels. Si y est considéré comme une variable continue, l'expression (5) admet done zéro ou deux racines positives. Or, elle admet la racine y = 1. Donc elle admet une autre racine positive. Le premier membre de l'inégalité (4) est donc nul si l’on y remplace x par zéro ou par une autre valeur, qui n’est pas forcément entière ; cette autre valeur est nécessairement comprise entre moins un et plus un, à cause des inégalités (3). Donc l'inégalité (4) est remplie pour toute valeur entière de n.

On peut se demander si ce raisonnement ne tombe pas en défaut pOur &,— %, = 0, OU pour æ,— +; — 0 : l'expression (5) ne présente alors qu'une variation; mais, pour ces points, les inégalités (3) sont impossibles.

Supposons maintenant qu’on ait

(7) Di lie, Ta 74, AT

Alors « et 5 sont nuls, y est négatif. L'expression (5) a encore deux variations, et l’on peut reprendre le raisonnement précédent : on arrive à la même conclusion, sauf que, pour x, = x;=— o, l’expression (2) est constante.

3. Y'a-t-il des points qui n’appartiennent à aucun polyèdre, ou qui appartiennent à tous les polyèdres transformés du précédent, ou du moins à une infinité d’entre eux ? Ce que nous venons de voir prouve qu'un point ne peut certainement pas appartenir à plus de deux polyèdres, sauf dans le cas des relations (7).

Pour qu’un point n’appartienne à aucun polyèdre, il faut et il suffit que l'expression (2) n'ait pas de minimum. Or, cette expression tend vers + quand z tend vers +=, à moins qu’on n'aitx,=x,=0 [en supposant remplies les conditions (6)]; elle tend vers + quand n.tend vers =%, à moins qu'on n'ait æ, = &;— 0. Donc, si l’on n’a pas ii =%;—=0 OÙ TP —=T;—0, elle présente un minimum, et le

point correspondant appartient à un polyèdre. Mais si