LT
cette expression, qui est toujours positive, tend vers zéro quand 7 tend vers + æ : elle n’a done pas de minimum; ces points ne font done partie d'aucun polyèdre. De même les points de la variété
Lo = L3— 0
ne font partie d'aucun polyèdre. Ces deux variétés à deux dimensions contiennent à elles deux les quatre points doubles, et sont situées dans les domaines (TITI), (HI) et (IV).
Si l’on se place dans le cas où les conditions (7) sont remplies, les points qui ne sont dans aucun polyèdre sont ceux des deux variétés à quatre dimensions
=) Di =10,
situées dans les domaines (11), (HT), (IT) et (IV). Les points æ, =; = 0 font partie de tous les polyèdres.
4. Supposons qu’on prenne, comme centre du premier polyèdre, un autre point que g = g'—1, h — 0. Nous ne pouvons plus affirmer que le polyèdre fondamental a encore deux faces seulement, mais nous pouvons démontrer que les points qui ne font partie d’aucun polyèdre sont les mêmes que précédemment, sauf dans le cas des condi-
tions (7).
L'expression (28) (Chap. IL) devient en effet ici
(8) norme (7 r3 di Ëso + 7273 Dao + 2% Ës0 + PAT MË2o + l'a 4 DsË10) amorme (ri ré enr Bebe absent rie un EE Plaçons-nous d’abord dans le cas des inégalités (6). Cette expression
tend vers + + avec n, sauf peut-être si Ti —0;
même dans ce cas, on a la même conclusion, à moins que
Ll,— Où
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 99
De même, quand x tend vers — +, cette expression tend vers + sauf si LOT 0;
I n’y a donc pas d’autres points en dehors de tous les polyèdres que ceux que nous avons déjà trouvés; ceux-ci ne font d’ailleurs partie d'aucun polyèdre, car, pour æ,=x,—=o, ce qui entraîne æ,—=0, l'expression (8) tend vers zéro quand » tend vers +; de même, pour æ, = +, = %,=— 0, elle tend vers zéro quand n tend vers — +.
Dans le cas des conditions (7), les points qui ne font partie d'aucun polyèdre, ou qui font partie d’une infinité de polyèdres, sont, comme précédemment, parmi les points des variétés
Ti —= O, Ty — O.
Mais 1l peut y avoir de ces points pour lesquels l'expression (8) ait encore un minimum. Par exemple, si æ,= 0, cette expression reste finie quand » tend vers +; mais l'expression (8) devient alors
dritr ist t1Eto + r37% [2(TsTs6 + Lio ds) (E1Ë30 + ÉtoËs) + (1) (De Lso + Lao Ts) (1610 + ÉtoËx) + (— 1) (mis + Dio ds) (Er Ë20 + É10Ës) | + norme[(—1}"(Z2Ër0 + TiËo) + 2T3Ë30]
+ normef(—i1)"(aré + dis ) Faits |.
Nous voyons que cette expression a une limite quand » tend vers + par valeurs paires et une autre limite quand n tend vers + œ par valeurs impaires. Pour que les points appartiennent à une infinité de polyèdres, 1l est nécessaire et suffisant que cette expression devienne une infinité de fois égale à sa plus petite limite, et ne tombe pas audessous : on retrouve ainsi les points æ,=æx;—0, comme pour le centre g—g'—1, h—o. Les points qui n’appartiennent à aucun polyèdre sont ceux pour lesquels cette expression reste toujours superieure à sa plus petite limite. Si cette plus petite limite est celle qui correspond à n pair, il est nécessaire que, pour » pair, le terme en r”r* soit positif; de plus, pour x impair, l'expression ne doit jamais tomber au-dessous de sa plus petite limite. Quoi qu'il en soit,
les points des deux variétés ;
L1= Lz —= Ly— O0, Lo — L3— sy —0O ne font, dans ce cas encore, partie d'aucun polyèdre, sauf si l’on a aussi æ, — +, — o. Les points &,— x,=— 0 font partie d'une infinité de polyèdres; mais, dans le cas général où les deux limites de l’expression (8) sont différentes, ils ne font partie que des polyèdres correspondant à » pair, ou que des polyèdres correspondant à 7 impair.
5. Deuxième type. — Prenons d'abord comme centre du polyèdre le point g—g'=1, h—0, la transformation étant mise sous la forme
canonique. Pour la puissance — 7x de la transformation, l’expression (28) (Chap. IT) devient
4 : ; . ,2n ei 1 di Li0 + PE Do Log + TT Lalio + T5 Li T0 — Li Lo 7 10 C5 — Le Lio — Lao Le
Nous voulons qu’elle soit minimum pour 7 = 0; il est nécessaire et suffisant pour cela que l’on ait
Cr —1)titio + (75 —1) Tito + (7 —1)Gidio tk (r$ —1)%5%502 0,
Cr — 1) di Di0 + (73? — 1) De Lo + (757 — 1) Mi io + (73? — 1) L3 435020; cela se démontre comme pour le type précédent; ces inégalités définissent le polyèdre fondamental.
Les points qui ne sont intérieurs à aucun polyèdre sont les points des deux variétés
ces points ne font non plus partie du contour d'aucun polyèdre.
Si l’on prend comme centre du polyèdre fondamental un point quelconque, l'expression (28) (Chap. IT) contient l'angle © : le nombre de faces du polyèdre fondamental n’est peut-être plus de deux. On trouve que les points des deux variétés que nous venons de trouver ne font encore partie d'aucun polyèdre; aucun autre point ne jouit de la même propriété.
6. Troisième type, et autres transformations ayant un point double dans le domaine (1). — Les groupes engendrés par ces transformations
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. IOI
ne sont discontinus que s’ils sont finis. Il y a donc, dans ce cas, un nombre fini de polyèdres fondamentaux qui remplissent tout l’espace.
