Quatrième type. — Prenons encore comme centre le point
g—=g=1, h—=o; pour la puissance —n de la transformation, “expression (28) (Chap. IT) devient
Dit fi TL Lio + Da Log + Lilo + Ds so — Li Ds — Li L5 — La Lio — Log La
On voit, comme dans les cas précédents, que le polvèdre fondamental est défini par les inégalités
Cr —1)mimiot (rt —1)%5%5020,
CPE) Ditio (rt 1)æ3M502 0.
Les points des deux variétés
Lie==10; Ds — 0
ne font partie d'aucun polyèdre : 1l y a exception pour l'intersection de ces variétés; aucun point ne fait partie d’une infinité de polyèdres, en dehors de l'intersection
des deux variétés précédentes, qui fait partie de tous les polyèdres.
Si le centre n'est pas g = g'=1,h— 0, on trouve que les points qui ne font partie d'aucun polyèdre, ou qui font partie d’une infinité, sont encore sur les deux variétés précédentes; mais 1l n’est pas sûr que tous les points de ces deux variétés satisfassent à cette condition.
8. Cinquième type, première forme. — Si l’on met le centre eng=g—=ti, h—0o, on trouve que l'expression (28) (Chap. IT) est, pour la puissance — x de la transformation,
FD EE 10 Dada de Patio TR ES De = Li Pro ip Le — La lhot=— Log due Le polyèdre fondamental est donc défini par les inégalités
(Tr —1) Zi Tio + (re — 1) 5 F502 0; He
(rt — 1) mi do + (73 — 1) 3 L502 0.
Les points qui ne font partie d'aucun polyèdre sont tous les points des
deux variétés Li 0) De 0,
sauf ceux de leur intersection, qui font partie de tous les polyèdres. Pour un centre quelconque, l'expression (28) (Chap. IN) devient
vorme (7° ZiË50 + Libro + 23630 + LË20 + re) + norme(r!"aiËs + æebs, + 2% Hat: + rit ).
Les points qui ne font partie d'aucun polyèdre sont, d’une part, les points satisfaisant aux conditions = 0; CAMES + DEAN Gt ENT ) + soë1 (Lo Ëi0 + 2L3E30 + 3620) + Lib (Labo + 2T30Ë30 + Liobro) + Lio (LaËs + 203Es + Tir )20;
d’autre part, les points satisfaisant aux conditions
Ts — 0,
Ta850 (T1064 + 2%306s + Lioës ) + Lioës (Labo + 2 M3 E30 + Li Ë20) + Lib (Too bio + 230630 + TioÉo0) + LioËso( Labs + 2%3Ës + Libs )=0;
il n’y a d'exception que pour les points de la variété
Li = Ty — O,
qui font partie de tous les polyèdres.
9. Cinquième type, deuxième forme. — Prenons un centre quelconque, et cherchons les points qui n’appartiennent à aucun polyèdre, ou qui appartiennent à une infinité. La fonction qui ne doit pas avoir de minimum est
norme 7?" Ës0 + (Lot 2nt;— n2s)E0 + 2(%3 — RL )Es0 + Libro + TUæsEo]
+ norme[r?#æié + (Lo + anx;— nr), +o2(x;— nr;)Es + Libe des 1j
On voit que, si |r,| > 71, cette fonction tend vers + quand » tend
vers + , sauf si Li —= Li, — T3 — 0j
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 103
de même elle tend vers + quand x tend vers — +, sauf si
Lys = Lr = L3 = 0.
Les points cherchés sont donc sur l’une ou sur l’autre de ces variétés. On reconnaît que ce sont, d'une part, les points satisfaisant aux conditions
Li — L,— L3—0, (L2L 50 + Laos) (Ë1Ëto + Éto Ex) 2 ©
et, d'autre part, les points satisfaisant aux conditions
Ty — Li, T3 —O, (T1 Tao + Lio Le) (Ex Ëso + ÉsoËs) 2 0.
Parmi ces points, un seul fait partie d’une infinité de polyèdres : c’est le point &,= x,=x,= x;,— 0, qui estun point double de la transformation, et qui fait partie de tous les polyèdres.
10. Sixième type, troisième forme. — Cherchons encore les points qui ne font partie d'aucun polyèdre, ou qui font partie d’une infinité. L'expression (28) (Chap. IT) est ici
norme[(zx, cos ng — 24;sinnocosno —nx,;—x;sin?n0)Es +(— AL + di + nt, + n%%s)Er, + (Zi SIN COS NY + T3 COS2N + 3 SIN COS RD )E30 + Li Ëa0 + (— sin no —2x;sinnç Cosnp+nx,+ xs; COS no®)Ë:6] + norme[(æ; cos?n@—2x;,sinnocosno —næx,— æx;sin?no@)é; +(—nr+a+n'r,+nas)t + (TZ; SiINnGCOSRE + T3 COS2N0 + T3 SiINnn COSNP)E; + Lib + (—2,sin?ro —27,sinno Cosnp + nr, + Z; COS np)E].
Si l’on n’a pas à la fois x, —0, &, —x;,, cette fonction de » tend vers + > quand x augmente indéfiniment par valeurs positives ou négatives; par suite, elle a alors un minimum atteint un nombre fini de fois. Les points cherchés sont donc sur la variété
l'y — O, Ti —= Ls.
Pour ces points, l'expression précédente se réduit à un polynome
en sinzo etcosn®; remplaçons-y 29 par 0: on a une fonction qui est minimum pour une certaine valeur 0, de 0; ou bien 0, est de la
forme no +247, n et # étant entiers, ou bien 0, n’est pas de cette forme. Dans le premier cas, si © est incommensurable avec 7, le point n'appartient qu’à un polyèdre; si © est commensurable avec +, le point appartient à une infinité de polyèdres, correspondant à des valeurs de x» en progression arithmétique. Dans le deuxième cas, le point n'appartient à aucun polyèdre si ® est incommensurable avec 7, et à une infinité si © est commensurable avec r.
11. Sepième type, première forme. — Nous pourrions donner, comme nous l'avons fait pour le premier type, le polyèdre fondamental correspondant au centre g = g'=t, h=—o : le calcul et les résultats sont les mêmes.
Cherchons les points qui n’appartiennent à aucun polyèdre, ou qui appartiennent à une infinité, le centre étant quelconque. L’expression (28) (Chap. III) devient, en faisant æ, —1,
norme (7% Z1Ë50 + l'? debro + 223b30 + 1 LiË20 + TA Ts 10)
+norme(rtmiËs + ri dily +2 As3Es + TR ils HT ds Je
Le coefficient de r°?" est
norme (Z1Ë50 + L2Ës0) + NOrMe(TiËs + LoËr),
RS
et celui der" e
norme (2, Ë20 + Æ5Ë10) + norme(æ,Ë, + æsË).
Pour les points cherchés, l’un ou l’autre de ces coefficients doit être
nul. Prenons celui de 7°", nous trouvons
Ne ee L1Ë50 + LoËro = 0,
TiËs + Toë, = 0;
mais, le centre appartenant au domaine (1), 8,6, — 6,,Ë, ne peut pas être nul; car la transformation
SMS TC (CN lo
© Cal OMC eh, @r ——,
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 105
montrerait que, dans le cas contraire, Ë,6,,— £,,Ë,, c'est-à-dire la partie imaginaire de g’, pourrait s’annuler dans le domaine (1), ce qui est absurde. Donc
Ë Li —= Lo — O,
et par suite æ, est nul aussi. La nullité du coefficient de r°" entraine de même La — Li — Li=—=107
On voit immédiatement que tous ces points sont en dehors de tous les polyèdres. Ce sont les points doubles de la transformation.
12. Sepuëème type, deuxième forme. — Cherchons encore les points qui n’appartiennent à aucun polyèdre, ou qui appartiennent à une infinité. L'expression (28) (Chap. ID) est ici, en faisant r, = 1,
norme{r#æiËs+(—nrlæi+rits)Ei + 2@3630 + 7 mit + (art æ,+ réæs)Eo]
+normel[r#riés +(—nr'mtria)t, +amst +r'aE+(nrtæ,+rtæs)E |.
Cette fonction de nr tend vers + æ avec n, à moins que l’on n'ait à la fois | = TT 0 Ne =D:
elle tend vers + quand 7 tend vers — , à moins que l’on n'ait
De Di Li — 0:
On voit immédiatement que les points de ces deux variétés n’appartiennent à aucun polyèdre.
13. Huitième type, deuxième forme. — Posons-nous la même question que pour la forme précédente. L'expression (28) (Chap. I) est ici, en faisant encore r,—=1,
norme[(æ,cosno— xr,;sinn®)éso + (— nai COSAP + LT COSNE + nr, Sinno + r;SiNnnop)E + 2%3Ë30 + (Li SiNnE +, COS RP )Ëso +(ndsinno —x,sinnp+nx,CoOSno + æ;COSnE)E] + norme[(x,cosno—x,sinnœ)és + (— ni COSAY + TL, COSNY +nx,Sinnp + z;sinnp}E, +otil; + (x sinnp+x,cosnop)é:
+ (na Sinno — x, Sinnp+ nt, COSnE + x; COsnp)E |.
On reconnait immédiatement que, si l’on n’a pas à la fois pour une certaine valeur de 0
(— 21 cos0 + x, sin0)E,0+ (x Sin0 + æ, COS0)Ës0 — 0,
(— æ, cos 0 + x, sin0)E, + (x, sin0 + x, cos0)E, — 0,
la fonction de x précédente à un terme en #2? multiplié par une fonction de 2 qui reste supérieure à un minimum positif; donc cette fonction de x tend vers + quand nr tend vers +, et par suite elle a un minimum atteint un nombre fini de fois. Pour les points que nous cherchons, les deux équations précédentes en 0 doivent donc être compatibles; or, elles entrainent les équations
= Zn COS OX, Sin — 0,
æ Sin0 + x, COSO — 0; par suite, on aura Tri Ci 0!
Pour ces points notre fonction de x se réduit à
norme[(æ, cosno + æ;sinno)é, + (— 2 Sinno + x,cosn®)Eo] + norme[(æx, cos no + æ;sinno)é, +(—xsinnp + x; cosno)E, ].
C’est un polynome homogène et du second degré en cosno® et sinno. Si o est commensurable avec z, tous ces points appartiendront à une infinité de polyèdres. Si est incommensurable avec +, deux cas pourront se présenter; remplaçons n2œ par 0 : on a une fonction de 6 qui est minimum pour une certaine valeur 0, de 0, définie à un multiple près de +; ou bien il y aura des entiers » et Ætels que
0, —=nœ+ kr,
ou bien il n'y en aura pas; dans le premier cas, le point appartiendra à un polyèdre et à un seul; dans le second, il n’appartiendra à aucun.
14. Neuvième lype. — On peut encore se poser la même question pour ce type, et la résoudre par le même procédé. Pour la deuxième forme de ce type, les points doubles font partie de
tous les polyèdres; aucun autre point n’est dans le même cas, ni ne fait partie d'aucun polyèdre.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 107
Pour la troisième forme, on n’a pas d’autres points que ceux de la variété Li — O, La — L,,
ces points peuvent soit appartenir à tous les polyèdres (le point double est toujours dans ce cas), soit appartenir aux polyèdres correspondant aux valeurs paires de 7, ou à ceux qui correspondent aux valeurs impaires de nr. Pourtant, si £,— 0, tous ces points appartiennent à tous les polyèdres.
Pour la quatrième forme, on n’a pas d’autres points que ceux de la variété
LE 10; Lo LC, ;
en particulier, le point double appartient à tous les polyèdres; les autres points peuvent présenter les mêmes particularités que pour la forme précédente.
15. Dixième type. — On peut résumer ainsi les résultats concernant les formes de ce type autres que la première : aucun point ne fait partie d’aucun polyèdre: les points doubles font partie de tous les polyèdres; les autres points font partie d’un nombre fini de polyèdres (un, en général).
