Considérons la transformation birationnelle
Supposons que (g, », g') soit un point du domaine (I). Alors les coefficients de z dans g, dans g'et dans g + g’+ 2h sont positifs ou nuls. Donc +, y et z sont inférieurs à un en valeur absolue. Si, dans un espace à six dimensions, un point a pour coordonnées les nombres complexes x, y et z, un domaine (D) de cet espace entièrement situé à distance finie correspond au domaine (1).
4. Donnons-nous une transformation (T) quelconque; soient X, Y,Z les transformés de æ, y, z par cette transformation. Formons le déterminant fonctionnel
D'EXAT:2)
D(, Pi 2) Si G, H, G’sont les transformés de g, , g', ce déterminant fonctionnel a pour expression
DORA) DOC ZOSD QG HIGOUD 2 220)
(7) Dé 6 2) DIGG) NX DCS. 2, FN D 1) D(G, H, G) Or, nous avons déjà calculé D (Chap. [, S IL, 6) :"c'est une fonction qui ne peut devenir ni nulle ni infinie dans le domaine (1). Calculons maintenant Deer nous trouvons DRM
na). — 2 (8) D(z, D (g+i)(g'+i)(g+g'+2h+i) ce déterminant ne devient non plus nt nul nv infini dans le domaine (1). Org+i,g +i,g+g +2h+1sonttrois fonctions de la forme (1), Au DOC Z) (a, de, œ3, &, &) étant un point du domaine (HIT). Donc D(G HG) ne devient non plus ni nul niinfini dans le domaine (1).
Si l’on considère une région R intérieure au domaine (1), la frontière de la région R étant aussi intérieure à ce domaine, la valeur absolue du déterminant fonctionnel précédent restera, dans cette région, comprise entre deux nombres positifs fixes.
Donc ne devient nt nul ni infini dans le domaine (1).
5. Démontrons maintenant que le rapport des valeurs absolues de ce déterminant en deux points de la région R reste compris entre deux nombres positifs indépendants des deux points choisis et de la substitution (S) considéree.
La formule (7) met ce déterminant sous la forme d’un produit de trois facteurs. Il suffit de démontrer que le rapport des valeurs absolues de chacun de ces facteurs en deux points de la région R reste
compris entre deux nombres positifs fixes.
Pour le troisième facteur, DE) il n’y a pas besoin de nou- ) Je
velle démonstration.
Prenons maintenant le second facteur
DICO D(g, 2%, g') [(abhis—(abhssg + 2(abhish + (ab), 3 + (ab), (88 — #2) F
Soient (g,, 2,, 9) et(g2, 2, g,) deux points de la région R. Posons
(ab);2 = ©, (ab )»3— ©», (abh;3= 3, (ab), = @&, (abha = «5;
nous aurons dr As + ay + Ai — O,
Nous avons à considérer la fonction
[A U — tn +24 +og: + ag
ÿ e] 1 Li — Lo Sy + 203 lo + CA + ds (La Lo — hi)
Or x, «,, a; eta; ne peuvent être nuls ensemble; nous distinguerons quatre cas, suivant que la plus grande des valeurs absolues de ces quatre nombres sera |@,|, |æ,|, |[x,| ou |[«;|. Supposons d’abord
que ce soit |«,|; nous avons alors une fonction continue de neuf
LC Ce Cr ; > —; a, peut en effet se tirer de
variables Den the (®) 01? 02 AO, a ©
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES, TITI
la formule
Ces neuf variables restent dans une région bornée, et la fonction ne peut devenir ni nulle ni infinie : sa valeur absolue reste donc comprise entre deux nombres positifs fixes. On peut répéter la même démonstration dans chacun des trois autres cas ; ainsi ce second facteur reste, en valeur absolue, compris entre deux nombres positifs fixes.
On peut faire une démonstration analogue pour le rapport des valeurs absolues de G +7, ou de G'+ 7, ou de G+G+2H+:en deux points de la région R. Et comme
D'EXNAT NZ) 2
le rapport des valeurs absolues de ce facteur en deux points de la
région R reste compris entre deux nombres positifs fixes. DÉC 72)
est donc D(x, y,2)
La propriété énoncée pour le déterminant
exacte.
6. Considérons un groupe discontinu de transformations (T), c’està-dire un groupe discontinu dans le domaine (1); soient T,, T,, ..., T,, .… les transformations de ce groupe. Soit (æ,, Y», 31) le point transformé de (æ, y, =) par la transformation T,..
Considérons la série
(9) y ses Yn nm),
DZ Eye) où # est un entier au moins égal à deux. Cette série est absolument convergente pour tout point du domaine (1); de plus, la convergence est uniforme dans une région R intérieure à ce domaine.
Soit, en effet, À un point de ce domaine. Il peut y avoir p transformés de A qui soient confondus avec A; en général, p = 1. Traçons une variété invariante de centre A, à coefficients réels (Chap. IP), et choisie de telle façon qu'elle soit tout entière extérieure à toutes ses variétés transformées par le groupe différentes d'elle-même; soient S
cette variété, S, sa transformée par T,. Posons
. ! 3 " D TC Li Lol = al [4 ! 72 YF +iY,;, JYn—=Yn TFlVns a z" RE TILES =" DS TS, ORESRE ECE RUE
considérons l'intégrale
(10) AR dzx' dx" dy' dy" dz' dz”
étendue à l’intérieur de S,, du moins à la portion de cet intérieur qui est dans le domaine (1). Cette intégrale est égale à
[SSSR tee 2e 20 la da a dt ele" dat - CR ER A
étendue à la portion de l’intérieur de S qui est dans le domaine (1). Or
QE
D(x æ?, DRE Jns Yns ARR g; 4 DE Vn) 2) 7 DÉS EE D UDC EE)
Mais, tant que le point (x, y, z) reste dans $, nous savons que
D(æ», JR; Zn)
> k D(z;;, Yn) Zn) DE:
